Научная революция XVII века - Владимир Кирсанов

Процедура отыскания t для данной дуги оказалась, как можно видеть из полученного уравнения, весьма трудоемкой, ибо для этого необходимо было подставить в него значения сразу всех расстояний, и поэтому Кеплер стал искать другой путь оценки суммы расстояний. Естественно, что ему пришло в голову оценивать сумму расстояний, содержащихся в секторе эксцентрика, по его площади. Но при этом он отчетливо понимал, что площадь эксцентрического сектора не может быть точной мерой рассматриваемой суммы. В доказательство он приводил следующее рассуждение. Пусть дан сектор BmСА, соединим С с В и рассмотрим треугольник ABC. В нем сумма сторон АВ+АС всегда больше стороны ВС. Но суммы всех линий, аналогичных ВС, будут иметь мерой площадь круга, в то время как сумма всех прямых, аналогичных АВ и АС, представляющая полную сумму расстояний, будет больше первой. Поэтому площади эксцентрических секторов представляют всего лишь приближенную меру суммы расстояний.

Метод оценки суммы расстояний по площади сектора, указывает Кеплер, содержит две неточности: во-первых, предполагается, что орбита планеты есть окружность, во-вторых, что площадь эксцентрического сектора не является точной мерой суммы расстояний от Солнца. Однако он добавляет, что в главе 59 «Новой астрономии», где вводится эллиптическая орбита, эти ошибки уничтожаются «как по волшебству». Ряд комментаторов неправильно интерпретирует это утверждение Кеплера, полагая, что доказательство закона площадей в главе 59 основано на взаимно компенсирующихся ошибках. (Заметим к этому, что Деламбр, проверивший кеплеровские вычисления, обнаружил, что Кеплер действительно допустил ряд ошибок в расчетах, которые, взаимно уничтожившись, дали в конце концов правильный результат.) На самом деле ошибки, о которых говорит Кеплер (и те, о которых говорит Деламбр), не имеют отношения к корректности доказательства.

Смысл этого замечания Кеплера в том, что если принять орбиту за эллипс и выбрать точную меру суммы расстояний, то закон площадей, введенный неявно в главе 40 «Новой астрономии» в качестве приближенного закона, станет вполне точным. Однако к тому времени, когда Кеплер впервые осознал возможность использования площади эксцентрического сектора в качестве меры суммы расстояний, ни то, ни другое еще не было сделано. Он открыто призывал математиков присоединиться к нему в усилиях отыскать точную меру суммы расстояний, а пока принимал, что мера времени t, потребного для перемещения планеты по дуге CG, может быть выбрана как β + e∙sinβ, так как площадь сектора GCA есть ½ ∙ СР + e sin β). Более того, он указывал, что этот «неточный метод решения уравнения на основе физической гипотезы достаточен для орбиты Солнца или Земли».

Действительно, для орбиты Земли, обладающей относительно малым эксцентриситетом, наблюдения довольно прилично сходились с расчетами, но уже для Марса, у которого эксцентриситет в 5,5 раз больше, расхождение данных наблюдения с расчетами истинной аномалии, основанными на законе площадей и гипотезе круговой орбиты, получалось равным 8 минутам. Такое расхождение до Кеплера могло вполне считаться удовлетворительным, так как 10 минут было обычной точностью наблюдений во времена Коперника, но Кеплер не мог этим удовлетвориться. «Благодаря божественной щедрости нам был дарован столь скрупулезнейший наблюдатель в лице Тихо Браге, что его наблюдения доказывают ошибочность этого птолемеевского расчета для Марса с расхождением в 8 минут; нам следует с благодарностью принять этот подарок Господень и пестовать <его>… Теперь, поскольку невозможно не обратить на это внимание, одни эти восемь минут указывают путь к перестройке всей астрономии»[5] {6, III, с. 258}.

Получив расхождение в 8 минут, Кеплер заметил, что оно не могло возникнуть в результате ошибки в законе площадей: во-первых, оно было слишком большим, а во-вторых, — и это главное — оно было противоположно по знаку тому, которое должно было бы возникнуть из-за неточности в выборе меры суммы расстояний. Поэтому Кеплер пришел к выводу, что окружность не является истинной формой орбиты Марса. Сравнивая положения Марса, рассчитанные на основе гипотезы о круговой эксцентрической орбите, с тремя наблюденными положениями, он нашел, что эти наблюденные положения лежат внутри круга. Так Кеплер пришел к предположению, что орбитой планеты является овал.

Приняв, что орбитой Марса является овал, Кеплер столкнулся с необходимостью вычисления площадей секторов овала, чего он делать не умел. О задаче вычисления площадей секторов овала Кеплер писал Фабрициусу в июле 1603 г.: «Если бы фигура была точным эллипсом, то Архимеда и Аполлония было бы достаточно».

Единственное, что ему оставалось, это вычислять площади приближенно, заменив овал эллипсом. Так он и поступил. Надо отметить, однако, что эллипс, аппроксимирующий овал, не совпадал с истинной эллиптической орбитой, а помещался внутри нее. С другой стороны, Кеплер не был вполне уверен в правомочности такой аппроксимации, так как и без того площадь сектора являлась лишь приближенной мерой суммы расстояний, и в своем исследовании овальной орбиты предпочитал работать непосредственно с расстояниями.

В конце 1604 г. Кеплер пришел к выводу, что его предположение о данной овальной форме орбиты неверно, так как получались слишком большие ошибки в расчетах по сравнению с наблюдениями. Более того, оказалось, что для круга и для овала ошибки в значениях истинной аномалии получались численно равными и противоположными по знаку. Стало ясно, что истина должна находиться где-то посредине этих двух крайностей, а между окружностью и овалом как раз помещался эллипс, соответствующий истинной орбите Марса. Кеплер увидел это, но не придал этому никакого значения. Если бы он просто искал геометрическую кривую, удовлетворяющую данным наблюдений, он, безусловно, поступил бы иначе, и все его поиски закончились бы на этом этапе. Но Кеплер не был удовлетворен, потому что не мог принять гипотезу, не имеющую физического обоснования. А физических причин существования эллиптической орбиты он пока еще привести не мог. Поэтому он продолжал работать с овалом, хотя мысль об эллипсе, по-видимому, подсознательно уже присутствовала в процессе его исследований.

Неотвязная мысль об эллипсе натолкнула его на одно удивительное совпадение. Оказалось, что для β = 90° разность между расстоянием от Солнца, до Марса в модели эксцентрика и радиусом круга в точности равна боковому сжатию орбиты, т. е. разности между радиусом круга и малой полуосью эллипса, лежащего посредине между кругом и овалом. Такое совпадение вряд ли могло быть случайным, и недаром Кеплер «удивлялся, почему и каким образом появился серп такой толщины (0,00429)». Далее он говорит: «В то время как эта мысль не давала мне покоя и я снова и снова думал о том, что… мой кажущийся триумф над Марсом оказался мнимым, вдруг мое внимание привлек секанс угла 5°18′, который является мерой наибольшего оптического уравнения.[6]

Можно было подумать, что, пробудившись ото сна, Кеплер наконец понял, что эллипс является истинной орбитой. Ничуть не бывало! Раз нет физической основы, эта гипотеза все еще кажется ему неприемлемой, и он продолжает строить овалы. Но все же из этого совпадения Кеплер сделал важный вывод: надо работать с секансами и, следовательно, с проекциями расстояния на соответствующий диаметр эксцентрика. Он называет эти проекции диаметральными расстояниями. Легко видеть, что диаметральное расстояние для эксцентрической аномалии β = ∠GBC есть HG и оно равно 1 + е cos β. Кеплер уже показал, что площадь есть точная мера суммы диаметральных расстояний. Действительно, для дуги GC сумма диаметральных расстояний есть

а именно этой величине равняется удвоенная площадь сектора GCA. Кеплер также доказал, что для модели деферента с эпициклом, эквивалентной эксцентрику, изменение диаметрального расстояния представляется либрацией (смещением) точки γ по диаметру эпицикла. Зависимость изменения диаметрального расстояния от эксцентрической аномалии описывается в этом случае формулой е∙(1—cosβ).

«Наконец, после шести лет невообразимых усилий, — восклицает Артур Кёстлер, автор одной из лучших биографий Кеплера, — он нашел секрет марсианской орбиты. Он смог найти формулу, согласно которой изменяется расстояние планеты от Солнца в зависимости от ее положения. В этой простой формуле выражен математический закон природы (имеется в виду выражение для диаметрального расстояния r = l + e∙cos β.— В. К.). Но он все еще не понимал, что именно эта формула и обозначает в точности, что орбитой является эллипс» {5, с. 146}.