Один день Григория Борисовича - Григорий Рейнгольд

- Несколько усовершенствованной системой счисления по сравнению с вышерассмотренной является римская. Главным её преимуществом является гораздо более компактная запись чисел. Кроме того сделана попытка систематизации названий чисел. Однако, отсутствуют чёткие правила математических действий, в этом, пожалуй, римская система даже хуже "собачьей". Попробуйте в римской системе разделить или умножить два числа... Огромным прорывом явилось изобретение позиционной системы счисления в древней Индии, дошедшее до Европы через арабов, вернее из перевода с арабского на латынь трудов Аль Хорезми (он кстати не был арабом, хотя и жил в Багдаде, а происходил из города Хорезма на территории нынешнего Узбекистана)...

Григорий Борисович слушал докладчика и следил за реакцией ребят. В целом выступление Пети ему понравилось. Немало, видно, литературы перелопатил. Но ведь и творчески подошёл, какое это он первобытной системе счисления название придумал, "собачья", хотя в литературе она называется по другому, "единичная", до чего докладчик, кажется, не докопался! Когда Петя употреблял неудачные слова или обороты речи, ошибался, учитель переживал, как если бы сам был докладчиком.

Но критиковать всегда просто!

Был, на взгляд Григория Борисовича, в докладе и ряд спорных моментов, да пожалуй и ошибок, и неточностей, но надо дослушать до конца, потом будет обсуждение.

Было видно, что кто-то из ребят хотел что-то возразить докладчику, поспорить с ним, но перебивать нельзя, а замечания свои чтоб не забыть лучше записать, что многие и делали.

- Давайте поближе познакомимся с самой простой позиционной системой счисления, с двоичной...

Доклад длился уже минут двенадцать, то есть перевалил середину, согласно твердому регламенту - двадцать минут. Больше слушать тяжело, публика начинает засыпать. Петя время от времени поглядывал на часы.

- Давайте составим таблицу умножения и таблицу сложения в этой системе: ноль плюс ноль - ноль, ноль плюс один - один, один плюс ноль - один, один плюс один - десять, по записи, конечно.

В этом месте произошло оживление среди младших ребят, и Петя подробно объяснил им, почему один плюс один будет десять. С таблицей умножения разобрались быстрей, и для передышки докладчик предложил слушателям попрактиковаться в производстве различных математических действий и перевода чисел из десятичной системы в двоичную и обратно. На это ушло минут десять, зато все передохнули, и Петя, таким образом смог продлить своё время.

- ... основание два при всех своих плюсах очень мало, запись чисел очень громозкая, хотя, разумеется, и не такая, как в "собачьей". Какое же основание позиционной системы счисления можно считать наиболее удачным? Как я уже сказал, наше основание десять, возникло по числу пальцев на человеческой паре рук, то есть случайно. Не надо быть великим математиком, чтоб увидеть недостатки этого основания, более удобным было бы восемь или шестнадцать, как числа вида два в степени эн...

Да неплохой доклад получился, но вот он и кончается. Григорий Борисович записал себе в кружковую тетрадь, что на одном из ближайших занятий надо практически поработать с разными системами счисления, в первую очередь с восьмеричной и шестнадцатеричной, составить для них таблицы сложения и умножения, правила перевода чисел из системы в систему.

- ... в компьютерах используется запись информации двоичным способом, то есть с помощью двух устойчивых состояний, это, пожалуй, главное приложение двоичной системы счисления, хотя, строго говоря, система счисления там десятичная, но цифры и все символы записаны двоичным кодом...

Тут можно было бы сказать и почётче...

- Вот, собственно и всё, что я подготовил по данной теме. Какие есть вопросы?

Григорий Борисович посмотрел на часы:

19 часов 15 минут.

Первый вопрос задал Слава Овсов: какой литературой пользовался докладчик, и остался недоволен ответом. Две-три книги, по его мнению, совершенно недостаточно для такого серьезного доклада. И вообще, к таким выступлениям надо готовиться серьезней, вот когда он учился в школе...

Дима Шевелюров, как председатель прервал Славу. Если ему есть что сказать, то будут прения по докладу, а пока только вопросы. Вопросов было немало, например, почему десятичную систему, раз она нехороша, не заменят на другую?

- Решить на какую заменить непросто, - ответил Петя, - да и что-либо изменить почти невозможно. Действительно, как быть с огромным количеством написанных тысячами людей книг. Хотя, с другой стороны, подобные реформы случались не раз, и в различные сочинения вносились поправки... Например, летоисчисление от Сотворения мира заменили на от Рождества Христова, кажется не безошибочно... А если заменить десятичную систему на восьмеричную, то ведь и юбилеи справлять надо будет не через сто, а через шестьдесят четыре года, а вместо тысячелетия будет пятьсот двенадцать лет... Уж лучше старую, десятичную сохранить, не такая она плохая, за тысячу двести лет мы к ней уже привыкли!

Маша спросила, как в древнем Риме делили и умножали? На этот вопрос Петя ответить не смог. А кто его знает, как, может римляне и не знали таких действий...

Было ещё два-три вопроса. Потом Дима предложил всем желающим высказаться по обсуждаемой теме. Прения - самая интересная часть заседания. Слово было предоставлено Славе.

- Я бы хотел отметить ошибочность некоторых положений доклада. Во-первых, я не согласен с докладчиком в том, что в "собачьей", как он выразился системе счисления (а на самом деле она называется единичной, больше надо читать) нет, вернее нельзя придумать простых алгоритмов для всех арифметических операций.

- Если ты такой умный, то составь алгоритм деления, - пытался защититься Петя.

Он уже чувствовал, что старший товарищ раскритикует его в пух и прах.

- Пожалуйста, - ответил Слава беря мел и подходя к доске, - вашему вниманию представляется алгоритм деления произвольных чисел с остатком, в "собачьей", я бы лучше сказал в Петиной системе счисления. Запишем сперва делимое, - и он нарисовал на доске несколько чёрточек, получилось семь, потом напишем делитель, - и он нарисовал снизу три чёрточки. Теперь слева отсчитываем от делимого по столько чёрточек, сколько их в делителе и каждый раз отделяем их дугой снизу, - он раз -два - три начертил одну дугу, раз - два - три - вторую, осталась всего одна чёрточка, - смотрите, что получилось: делимое - семь чёрточек, то есть семь, делитель - три чёрточки, то есть три, у меня получилось две дуги, каждая из которых отделяет тройку и одна чёрточка лишняя. То есть:

семь разделить на три получится два и один в остатке! Если хотите, сочиню сейчас алгоритм умножения и даже возведения в степень... Но всем и так уже была очевидна Славина правота.

- Что касается системы названий чисел, то она в единичной системе есть. Один, два, три, четыре и "столько, сколько пальцев на руке". Древний охотник говорил:

"Я сегодня добыл оленей столько, сколько пальцев на руке и ещё два." Далее, - продолжал Слава, - несколько слов в защиту римской системы. Она, безусловно, включала в себя правила всех арифметических действий, не могла не включать. В Риме велось строительство сложнейших инженерных сооружений, разрабатывались календари и велись астрономические наблюдения, проводились переписи населения, наконец. Да если бы в римской системе не существовало правил действий, то всё это было бы невозможно! Другое дело, что не вся античная премудрость дошла до нас, многое было утрачено и забыто в средневековье. Далее, римская система по существу была позиционная или почти позиционная, но не десятичная, а пятеричная!

Но вряд ли римская система была абсолютно оригинальна, ведь римской цивилизации предшествовали египетская, греческая и более ранние... Что же касается проблемы основания позиционной системы счисления, то можно уверенно сказать, что были и двадцатеричная система, иначе, откуда у чисел от десяти до двадцати уникальные названия; и двенадцатиричная, раньше мерили не десятками, а дюжинами, в сутках, например, две дюжины часов; и шестидесятеричная, ведь в минуте и часе не по сто, а по шестьдесят секунд и минут, а в полном круге не сто, а триста шестьдесят градусов! Существование пятеричной системы доказывает абак. Что, не знаете, что это такое? Большое упущение, одно из заседаний кружка предлагаю посвятить истории вычислительной техники, это можно сделать совместно с кружком по информатике. Абак - древнейший счётный инструмент. Недавно по видеоканалу фильм показывали, китайский, кажется, ну: короче про мордобой. Там во время драки одной какой-то пожилой китаец на абаке считал... Известные русские десятичные счеты произошли от него, но ладно, сейчас не об этом... Вот тут был вопрос о замене десятичной системы. Но ведь не удастся даже в вышеперечисленных случаях перейти к десятичной системе! А как бы упростились расчеты, если бы в сутках было десять часов, в часе - сто минут, в круге сто градусов... Ну а вообще доклад неплохой, ты, Петя прости меня за дружескую критику.