Журнал «Вокруг Света» №09 за 2008 год - Вокруг Света

Где живет число пи?

Исторически оно появилось как отношение длины окружности к ее диаметру, но довольно скоро, с развитием математики, стало ясно, что число это куда более «вездесуще» и появляется в самых разных математических рассуждениях. Первоначально значение π определялось чисто эмпирически и, как всякое опытное знание, имело приближенный характер. В Древнем Вавилоне его полагали равным 25/8 (31/8). Великий древнегреческий математик Архимед, в распоряжении которого при вычислениях были только простые дроби, из геометрических рассуждений выяснил, что π лежит между 310/71 и 31/7. Со временем точность возрастала, и теперь известно, что численное значение π представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:

π = 3,141592653589793238346…

Цифры этого бесконечного разложения получают по определенным алгоритмам, которые задают процесс конструирования числа, шаг за шагом все ближе подходя к «истинному» значению π. При этом одни подходы дают удовлетворительные приближения быстрее других, и в этом состоит цель поиска новых алгоритмов. Конечно, ни один метод не даст нам все знаки числа π, поскольку не в наших силах отобразить на бумаге или в памяти компьютера их бесконечную последовательность. Поэтому на практике мы располагаем лишь конечными (пусть и весьма длинными) фрагментами записи числа π и алгоритмами для вычисления еще неизвестных его знаков. Но алгоритмы есть продукт человеческой изобретательности и сильно различаются между собой. Кто знает, не дадут ли они разные результаты при вычислении, скажем, стотриллионного или еще более далекого знака числа π? А раз так, то нет оснований говорить о том, что число π существует само по себе вне и независимо от человеческого разума.

Различные вариации этой точки зрения известны в философии математики под названиями конструктивизм и интуиционизм. Первый термин отражает установку, согласно которой признается существование лишь тех математических объектов, которые хотя бы теоретически можно сконструировать за конечное время. Второй апеллирует к понятию математической интуиции, которой, как предполагается, доступны лишь конечные объекты, а потому бесконечные сущности вроде полной последовательности знаков числа π, даже если и существуют в каком-то смысле, не могут быть предметом доказательных рассуждений в математике.

История уточнения числа пи

25/8 = 3,125 — Вавилония, начало XIX в. до н. э.

256/81 [?] 3,160 — Египет, до 1850 г. до н. э. («Московский математический папирус»)

339/108 ≈ 3,139 — Индия, IX в. до н. э. («Шатапатха-брахмана»)

223/71 (3,1408) < π < 22/7 (3,1428) — Архимед, Греция, 250 г. до н. э.

3,1416 — Лю Хуэй, Китай (царство Вэй), 263 г.

3,1415926 < π < 3,1415927 — Цзу Чунчжи, Китай, ок. 480 г.

3,14159265359 — Мадхава из Сангамаграма, Индия, около 1400 г.

16 знаков — Джемшид аль-Каши, Персия, 1424 г.

35 знаков — Людольф ван Цейлен, Голландия, около 1600 г. (потратил большую часть жизни)

100 знаков — Джон Мэчин, Англия, 1706 г.

200 знаков — Захариас Дазе, Германия, 1844 г. (2 месяца устного счета)

527 знаков — Уильям Шенкс, Англия, 1873 г. (15 лет вычислений)

2037 знаков — Джон фон Нейман, США, 1949 г. (ENIAC, 70 часов счета)

16 167 знаков — Франсуа Женюи, Франция, 1959 г. (IBM 704, 4,3 часа счета)

1 001 250 знаков — Джин Гийу и Мартин Буйе, Франция, 1973 г. (CDC 7600)

1 011 196 691 знаков — братья Чудновские, США, 1989 г. (IBM 3090, на базе формулы С. Рамануджана)

206 158 430 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 1999 г.

1 241 100 000 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 2002 г. (HITACHI SR8000/MPP, 64 процессора, 600 часов счета)

Три взгляда на одно число

Теперь мы можем представить три основные точки зрения на то, в каком смысле существует математический объект π. Во-первых, это эмпирически определенное отношение длины окружности круглого предмета к его диаметру, причем геометрические термины здесь служат лишь для указания на приближенные свойства физических предметов. Хотя эта точка зрения кажется самой естественной, ее трудно защитить. Фундаментальное затруднение состоит в том, что универсальные математические истины невозможно обосновывать частными эмпирическими обстоятельствами.

Во-вторых, число π можно рассматривать как объект, существующий независимо от человеческого сознания и принадлежащий миру математических сущностей. Эта платонистская точка зрения ведет к тому, что все истины о π, включая еще не доказанные теоремы, в которых оно используется, уже существуют и имеют объективный характер, независимо от того, знаем мы это или нет. И хотя цифры разложения числа π открываются нами лишь в ходе применения вычислительных алгоритмов, в мире математических объектов π существует объективно, и там наличествуют сразу все знаки его бесконечного (!) десятичного разложения.

Однако для интуиционистов такой взгляд неприемлем. Человек не может представить бесконечность, а математические объекты, с точки зрения интуиционистов, существуют лишь тогда, когда их можно сконструировать. Допустим, нам предъявлен алгоритм и сказано, что он строит последовательность знаков числа π. Платонист может ставить перед собой задачу доказать это утверждение. Поскольку все знаки π уже существуют «на самом деле», то пусть даже за некоторыми пределами мы их и не знаем, но можем попробовать доказать, что данный алгоритм дает нам именно их, а не что-то другое. Но вот с точки зрения интуициониста, это утверждение не истинно и не ложно: оно неразрешимо, так как математический объект существует только в том случае, если дан способ его конструирования. Нет способа сконструировать весь ряд цифр числа π, стало быть и такого математического объекта пока просто не существует. А раз так, то утверждение, что данный конкретный алгоритм строит неизвестные еще знаки числа π, тоже лишено смысла.

Но быть может, мы делаем ошибку, придавая столь большое значение вопросу о том, в каком смысле существуют математические объекты как нечто индивидуальное? В конце концов, число 3 есть то, что стоит после числа 2 и перед числом 4. Другими словами, важна структура натуральных чисел, свойства всего ряда в целом. Такая точка зрения называется структурализмом. С его позиций центр тяжести при обсуждении природы математики переносится с индивидуальных объектов на всю структуру. Эта концепция стала доминирующей в ходе развития аксиоматического метода, потому что аксиомы описывают именно структуру. Но для наших «вечных» вопросов это не имеет особого значения, потому что те же самые вопросы о существовании можно повторить и в отношении любой математической структуры, такой, скажем, как множество действительных чисел.

Итак, эмпиризм, платонизм и интуиционизм — три основные точки зрения на то, в каком смысле существуют математические объекты. Это, так сказать, онтология математики, представления о способах существования ее объектов. Но не менее важен и вопрос о том, каким образом мы обретаем знание свойств математических объектов. И тут от онтологии мы переходим к эпистемологии, то есть теории познания.

При виде красоты и непредсказуемой сложности фракталов трудно усомниться в том, что они существуют объективно, несмотря на то, что человеческой интуиции их не охватить. Фото: SPL/EAST NEWS

Эмпиризм

Эмпиризм как точка зрения на существование математических объектов, помимо тривиального тезиса об опытном происхождении всего знания, особо ярко проявляется в двух аспектах. Прежде всего эмпирические истины ассоциируются с интуитивно понятными математическими утверждениями, такими как «2 + 2 = 4». Именно такие утверждения Давид Гильберт назвал реальными в том смысле, что в них невозможно усомниться в силу их непосредственной связи с нашим опытным восприятием внешнего мира. Между тем высшая математика полна очень далеких от опыта и интуиции утверждений и концепций, которые в терминологии Гильберта являются идеальными в том смысле, что служат целям построения непротиворечивой сложной символической системы, в целом называемой математикой, и связывают между собой отдельные ее понятные фрагменты. Но еще важнее вопрос о том, как эмпирически обосновывать математическое знание. Легко сложить два камешка с другими двумя и получить четыре. Но что если попытаться подтвердить подобным образом математическую истину «2000 + 2000 = 4000». В силу несовершенства наших способностей мы вполне можем получить не 4000, а, скажем, 3999 или 4001, или 3997. Как истинные эмпиристы, мы в качестве ответа берем среднее и получаем дробь. Однако ведь при сложении целых чисел не может получиться дробь! Но откуда этот факт известен эмпиристу? Только из той самой арифметики, которую он пытается обосновать опытными средствами. Получается порочный круг, когда доказываемое уже предполагается в посылках.