Журнал «Вокруг Света» №09 за 2008 год - Вокруг Света

Сриниваса Айенгор Рамануджан (1887—1920), не имея специального математического образования, получил множество неожиданных и красивых формул, о которых говорили, что ни у кого другого не «хватило бы воображения, чтобы их изобрести». Фото: SPL/EAST NEWS

Большое доказательство

Итак, дедуктивное доказательство есть единственно убедительное свидетельство существования математических объектов и истинности математических утверждений. И коль скоро речь идет об убедительности — ведь доказательство представляет собой аргумент, — есть все основания полагать его «рукотворным». Дело в том, что убедительная аргументация должна быть обозримой. Американский математик Хао Ван заметил как-то, что если доказательство изложено на паре сотен страниц и каждая страница убедительна в отдельности, то в любом случае трудно представить, что в голове эти две сотни страниц могут уложиться в их взаимосвязи. Ясно, что при этом математики ищут выход в том, что укрупняют фрагменты доказательства, делая весь ход мысли более понятным. Но что можно сказать о доказательстве теоремы, которое изложено на 15 000 страниц? Можно ли прочесть такое доказательство? Можно ли считать его убедительным аргументом? Но такой аргумент существует — это доказательство теоремы о том, что обнаружены все простые конечные группы (подробнее об этой теореме и связанном с ней кризисе рассказывается в статьях Д. Горенстейна и Б. Дэвиса). Естественно, такой труд не под силу одному человеку, и в доказательстве принимали участие более 100 математиков. Полное доказательство разбросано по страницам 500 журналов, выходивших на протяжении 40 лет.

Можно ли считать такое доказательство обозримым? Способен ли хоть кто-то охватить его в целом умственным взором? В результате постижения доказательства математик получает уверенность в утверждении теоремы. Насколько сильна эта уверенность в случае огромных многотомных доказательств? Эти сомнения усугубляются еще и чисто прагматическим обстоятельством. Представим себе, что некий математик объявил о доказательстве труднейшей теоремы, но проверка этого результата требует многолетних усилий целого коллектива. Готов ли кто-нибудь надолго забросить свои исследования для того, чтобы проверять правильность чужих?

И все же то, что доказано одним человеком или сотней людей, в принципе можно и проверить усилиями одного человека или сотни людей. Но ситуация с обозримостью и понятностью резко осложняется с появлением в математической практике компьютерных доказательств. История эта началась с теоремы о четырех красках. Она формулируется чрезвычайно просто: для раскраски любой карты на сфере или плоскости так, чтобы никакие две соседние страны не были окрашены одинаково, достаточно четырех цветов. Начиная с середины XIX века было сделано множество попыток справиться с этой теоремой, но удалось это только в 1976 году американским математикам Апелю и Хакену. Одна беда: решающая лемма в доказательстве обосновывалась с помощью компьютерных вычислений, для которых потребовалось 1200 часов машинного времени, по большей части для проверки различных конфигураций.

Вероятно, доказано...

Сама идея компьютерного доказательства вызвала большие споры в математическом сообществе и не меньшие споры в философском. Дело в том, что компьютер представляет собой физическую машину, которая может дать сбой. А проверить «вручную» то, что делает программа, человеку не под силу. Таким образом, как признают сами авторы компьютерного доказательства, теорема обоснована с вероятностью 0,999… Но априорное знание, каким его полагал Платон, не может быть вероятностным. Да и многие математики, не обращающие внимания на философию, также не приемлют идею вероятности доказательства. Теорема либо доказана, либо нет! Доказательство есть результат озарения, а не механического действия машины. Компьютерное обоснование по большей части невозможно проверить «с карандашом и бумагой». Если даже распечатать все программы и все используемые данные, которые займут очень много страниц труднопостижимого текста, не будет никакой гарантии, что данные эти были напечатаны правильно или же правильно прочитаны. К тому же любой компьютер имеет скрытые дефекты — как в программах, так и в «железе», — которые иногда приводят к серьезным ошибкам. И у любого компьютера возможны спонтанные сбои, которые хотя и редки, но тем не менее случались в ходе компьютерных доказательств.

Теорема о четырех красках уже не единственная, доказанная с помощью компьютера. Так что мы приходим к ситуации, когда все теоремы можно будет разделить на четыре категории: доказываемые устно, требующие карандаша и бумаги, требующие вдобавок больших усилий и времени и, наконец, те, которые можно доказать только с помощью компьютера.

Если доказательство является решающим свидетельством в пользу существования математических объектов и фактов, то в свете приведенной классификации теорем трудно отдать предпочтение какой-либо одной традиционной точке зрения на природу математических сущностей: эмпиризму, платонизму или интуиционизму, о которых говорилось в начале статьи.

Ситуация меняется с появлением в математической практике компьютеров, а также чрезвычайно трудоемких «человеческих» доказательств, представляющих собой результат коллективного творчества. Мир математики поражает огромным разнообразием своих объектов и удивительными связями между различными областями. Красота математических рассуждений и определенность достигаемых результатов есть результат творчества человеческого ума. Но, несмотря на весь прогресс науки, перед математиками по-прежнему стоит вечный вопрос: является ли их творчество свободным полетом человеческого гения или же проникновением в тайную структуру окружающего нас мира?

Виталий Целищев

Грануаль — королева пиратов

В 1970-е годы «Вокруг света» напечатал статью Бориса Рыбникова о леди Грейс О’Мэйл — неустрашимой предводительнице ирландских морских разбойников. Многие тогда сочли ее историю выдумкой — настолько она была необычна. Ряд фактов в статье действительно придуман, но ее героиня существовала на самом деле. Только звали ее иначе — Грануаль О’Мэлли. Рис. ввеху АНТОН БАТОВ

Имя Грейс ей дали англичане, с которыми королева пиратов то ссорилась, то мирилась всю свою долгую жизнь. При рождении ее назвали Грайне (Грания), а потом присвоили прозвище Грануаль, что означает Лысая Грайне. «Облысела» она в тринадцать лет, когда попросилась с мужчинами в море. Ей ответили, что женщина на корабле — плохая примета. Тогда она взяла ножницы и коротко обрезала свои темные кудри: «Все, теперь я мужчина!» Отец рассмеялся и взял дочку в плавание.

Родовое гнездо

Оуэн Дубдара, что означает Черный Дуб, был вождем клана О’Мэлли (по-гэльски — Умалл-Уахтара), обитавшего в нынешнем графстве Мэйо, на крайнем западе Ирландии . В этом неприветливом краю, который испокон веков жил за счет моря, члены клана славились мореходным искусством. Говорили, что они рождаются и умирают под парусом. Одни на маленьких, обшитых кожей лодках рыбачили у берега, другие на больших кораблях доставляли в Испанию и Шотландию ирландские товары: скот, кожу, шерсть, привозя обратно в Ирландию красивые ткани, вино и другие предметы роскоши. В тогдашней Ирландии, как когда-то у викингов, каждый купец был одновременно и воином, и пиратом, чтобы защитить свой корабль от нападения и при случае самому ограбить конкурента.

Таким же был и Оуэн, с которым в поход отправлялись 30—40 крепких молодцов. Поссорившись едва ли не со всеми вождями графства Мэйо, он скрывался от их мести в своем замке Карригаули — прямоугольной каменной башне, на нижнем этаже которой держали скот, а на верхнем — жили люди. Там же около 1530 года родилась Грания. Гэльские женщины пользовались большой свободой, но все кругом говорили, что Оуэн слишком распустил свою дочку — позволяет ей выходить в море, ставить снасти и даже участвовать в сражениях. Недовольна была и его жена Маргарет, но Черный Дуб никого не хотел слушать. Когда его дочери было шестнадцать, он внезапно умер — то ли подхватил в плавании лихорадку, то ли враги, отчаявшись одолеть такого соперника силой, подсыпали ему в пищу яд. По преданию, после смерти отца Грануаль бросила вызов своему младшему брату Индульфу, который должен был стать вождем. В честном бою на ножах юноша оказался побежденным и должен был, сгорая от стыда, уступить власть женщине.

Замок Рокфлит. Залив Клу. Графство Мэйо. Ирландия. Фото: FOTOBANK.COM/GETTY IMAGES

На самом деле у Грануаль был только один брат — Домналл, по прозвищу Волынщик. Драться с ним не имело смысла, поскольку вождя все равно выбирало собрание клана, которое никогда не отдало бы власть женщине. Поэтому новым предводителем без всяких ссор стал Дом налл, а его сестру поспешили выдать замуж за таниста (заместителя вождя) сильного клана О’Флаэрти — Домналла Воинственного. Он и правда без устали воевал с соседями, хотя обычно эти войны сводились к угонам коровьих стад и вероломным убийствам. Отдыхая от трудов неправедных, Домналл успел завести с молодой женой троих детей — Оуэна, Мерроу и Маргарет. Но Грануаль быстро надоело вести хозяйство, и она вернулась на море, прибрав к рукам флотилию супруга. Сам он корабли не любил, и его моряки охотно подчинились новой госпоже. Скоро она стала хозяйкой берегов не только Мэйо, но и соседних графств Голуэй и Клэр. Ее быстроходные галеры легко настигали нагруженные купеческие суда и ставили их хозяев перед выбором: кошелек или жизнь? Кроме прямого грабежа, расчетливая Грануаль практиковала рэкет, взимая с толстосумов дань за безопасность.