Число и культура - А. Степанов

Потрясение оказалось настолько глубоким, что побудило пифагорейцев вообще отказаться от чисто арифметического способа рассуждений, впредь ограничиваясь наглядной геометрией и даже алгебраические по характеру задачи решая геометрическим способом (так называемая геометрическая алгебра).(12) Остальные математики также постарались подальше отойти от места крушения колосса и в дальнейшем огибать опасную зону на почтительном расстоянии. Любопытный и по-своему знаменательный исторический факт: на протяжении двух тысячелетий математики знали о доказательстве Гиппазия, но предпочитали о нем поменьше упоминать, спасаясь солидарным полуумолчанием от "парадокса".

Помимо √2, было найдено немало других чисел с аналогичными свойствами – √3, √5 и т.д.,(13) – доказательства строились по уже известному алгоритму. Лишь в Возрождение – в обстановке крушения авторитетов, традиций, в эпоху великих открытий, в контексте принципиально новых математических задач (собственно алгебраических) и методов их решения – был не только чрезвычайно расширен класс таких чисел, но и с ними научились подобающим образом обходиться. Впрочем, название, ставшее термином, сохранило печать былых драм: числа иррациональные, явный оксюморон (как может число противоречить разуму?).

Как бы там ни было, человек узнал о существовании двух классов чисел: рациональных и иррациональных. В их отношении между собой выступает операция сравнения, но уже не по величине, как раньше (больше-меньше), а по признаку соизмеримости, т.е. наличия или отсутствия общей меры. Всякий раз таким образом сопоставляется пара чисел, пара классов, т.е. данное отношение – бинарно, n = 2. На этом история не закончилась.

Развитие математики и механики выявило особую роль такого часто встречающегося числа как π, затем открыли другое замечательное число, получившее обозначение e (одна из важнейших постоянных математического анализа).(14) В конце ХVIII в. И.Ламберт и А.Лежандр доказали, что число π не может быть рациональным, а во второй половине ХIХ в. выяснилось, что π и e не только иррациональные, но и трансцендентные. Существование класса трансцендентных чисел как таковых впервые установил французский математик Ж.Лиувилль в 1844 г., теорему о трансцендентности числа π доказал Ф.Линдеман в 1882 г., аналогичную теорему о числе e – Ш.Эрмит в 1873 г.

Вообще в данный период – в канун и вместе с европейскими революциями 1848 г. – в математике происходит много ярких событий, так или иначе имеющих отношение к теме книги, что, возможно, не удивительно: начиналась подлинная революция в математике, предварившая великие потрясения и открытия конца ХIХ – начала ХХ вв. в физике, философии, искусстве, политике и др. Но об этом речь впереди, а в настоящем контексте упомянем немецкого ученого Р.Дедекинда, обосновавшего теорию действительных чисел и предложившего строгий аксиоматический метод введения чисел иррациональных (так называемые дедекиндовы сечения). Однако сейчас нас интересуют числа трансцендентные.

Что они собой представляют? По определению – это те, которые не могут быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, т.е. числа неалгебраические, что навряд ли много скажет нематематику. Противопоставление классов алгебраических и неалгебраических (трансцендентных) чисел, тем не менее, исключительно важно, поскольку с алгеброй принято связывать саму нашу логику. Впоследствии такие логики и были формализованы в алгебраическом виде (математическая логика). В таком случае, быть числом неалгебраическим как бы означает "быть нелогичным", что, собственно, и запечатлелось в названии: трансцендентные (снова, и еще более сильный, оксюморон: казалось бы, что "потустороннего" может быть в длине окружности? Но математики знают, о чем говорят).

Пропасть между алгебраическими и трансцендентными числами подчеркивается теорией множеств, ставшей еще одним достижением ХIХ в., особенно второй половины – Б.Больцано, Г.Кантор, Р.Дедекинд. Хотя алгебраических чисел – рациональных и иррациональных – существует бесконечное количество, но их множество, как выражаются, счетно. Это означает, что все такие числа – не на практике, конечно, а в принципе – можно пронумеровать, т.е. их "столько же", сколько чисел в натуральном ряду. Чисел же трансцендентных неизмеримо, качественно "больше". Их множество несчетно и, как говорят в таких случаях, имеет мощность континуума (т.е. трансцендентных чисел "столько же", сколько точек на непрерывной прямой). Возможность что-то пронумеровать – верный признак логичности, о чем же тогда свидетельствует отсутствие подобной возможности?

В прежней среде действительных чисел, но по-новому, была по сути развернута интеллектуальная драма, сходная с той, что некогда произошла при первой исторической встрече с иррациональными числами. К счастью, во второй раз математики оказались более подготовленными в морально-психологическом плане. Посмотрим, что у нас осталось в итоге.

Числа действительные (иначе их называют вещественными) делятся, во-первых, на рациональные и иррациональные, во-вторых, – на алгебраические и трансцендентные. В обоих случаях речь идет о характерной оппозиции: за числами одного сорта признается качество своеобразной "логичности", за числами другого сорта – нет. Сравнение в обоих контрастных противопоставлениях производится попарно, т.е. кратность отношений двойная, n = 2. Если свести вместе обе классификации, построенные над полем действительных чисел, то получится, что последнее состоит из чисел рациональных (целых и дробных), алгебраических иррациональных (наподобие √2) и трансцендентных. Их разделение фиксирует скачкообразное убывание специфической "логичности" (мы уже знаем, в каком смысле). Изобразим классификацию на рисунке:

Почему в итоге получилось три непересекающихся класса действительных чисел, т.е. почему М = 3? – Во-первых, в системе задано бинарное отношение сравнения ( n = 2 ); во-вторых, совокупность названных классов мыслится в качестве законченной и целостной. Откуда нам известно последнее? – От самих математиков, ибо они доказали так называемую теорему о полноте, утверждающую, что других классов действительных чисел не существует, сюрпризы с появлением новых не повторятся.

Наверное, стоит извиниться перед читателем за столь длинный и сложный пример, но все же он, надеюсь, короче, чем сама эта история длиной в 2,5 тысячи лет. Данным пассажем можно было бы и пренебречь, но беда в том, что впоследствии (в главе 3) нам еще придется встретиться с иррациональными числами и оттого неплохо бы знать, что за ними стоит. Пока же, коль все равно затрачены время и силы, грех не воспользоваться этим и не сформулировать некоторые полезные выводы, которые пригодятся для понимания и других паттернов.

Во-первых, мы имели случай лишний раз убедиться, что предлагаемая модель – элементарно-математическая по форме, культурологическая по функции – способна работать "поверх" (или "из-под низа") достаточно сложного концептуального материала. Простейшие числа – два и три – справляются с описанием итога длительной работы перворазрядных ученых, причем в данном примере – как раз в области чисел.

Во-вторых, хотелось дать получше почувствовать одну из особенностей нашей модели: она дескриптивна, мы не затронули и тысячной доли содержательного богатства идей упомянутых ученых (как ранее не пытались всерьез выяснить, что представляют собой, скажем, тело-душа-дух или небо-земля-преисподняя). В специальные работы мы практически не вникали, интересуясь лишь "сухим остатком" (для нас это количество элементов). Тем не менее наши выводы совпали с положениями самой математической науки.

В-третьих, небесполезно нагляднее показать не только подспудность схемы n = 2, М = 3, но и драму ее воплощения. Сейчас трудно установить, сколько тысячелетий или десятков тысячелетий потребовалось человеку, чтобы прийти к трехсоставности мироздания, трем лицам, трем временам и т.д., но исторические факты из последнего примера предоставляют шанс догадаться, сколько усилий стоит за подобными, казалось бы тривиальными, вещами. Как после этого мы должны к ним относиться? Достаточно ли мы их ценим?

Наконец, возник повод на новом материале напомнить о принципиальной неотделимости чисел и науки о них от мифологической подоплеки. Флером неизбывной загадочности окутано не только их первоначальное происхождение, но пуповина не была и не будет перерезана никогда. Это касается не только ранних, исторически не вполне достоверных этапов развития: у египетских жрецов, халдейских магов, индийских и китайских мудрецов, у склонных к мистериям пифагорейцев. Впоследствии получили широкую известность и веками тревожили воображение математиков задачи о трисекции угла, удвоении куба, квадратуре круга (и обратно: циркулятуре квадрата). Окончательно с ними разобрались сравнительно недавно, в прошлом веке, и, как выяснилось, проблемы непосредственно связаны с иррациональными и трансцендентными числами. Значение таких задач, как считалось, выходит далеко за границы математики, затрагивая саму тайну жизни и спасения,(15) что можно сравнить разве что с ролью философского камня и гомункулуса у средневековых алхимиков. Многозначительные предания складывались и вокруг не столь отдаленных математических событий. Вероятно, самое яркое из них – о большой, или великой, теореме Ферма, теснейшим образом связанной с соизмеримостью и несоизмеримостью чисел. Вокруг нее периодически поднимается ажиотаж, особенно на переломных исторических отрезках.