Большая Советская Энциклопедия (ЛО) - БСЭ БСЭ

  В СССР исследования по Л. н. наиболее интенсивно ведутся в институтах философии АН СССР, АН УССР, АН Грузинской ССР, на философских факультетах Московского, Ленинградского и Тбилисского университетов.

  Лит.: Проблемы логики научного познания, М., 1964; Логика научного исследования, М., 1965; Зиновьев А. А., Основы логической теории научных знаний, М., 1967; его же, Логика науки, М., 1971; Копнин П. В., Логические основы науки, К., 1968; Попович М. В., О философском анализе языка науки, К., 1966; его же, Логika i наукове пiзнання, К., 1971; Ракитов А. И., Анатомия научного знания. (Популярное введение в логику и методологию науки), М., 1969; его же, Курс лекций по логике науки, М., 1971; Smart Н. R., The logic of science, N. Y. — L., 1931; Northrop F. S. C., The logic of the sciences and the humanities, N. Y., 1948; Popper K. R., The logic of scientific discovery, N. Y., 1959; Harre R., An introduction to the logic of the sciences, L. — N. Y.; 1966; Durbin P. R., Logic and scientific inquiry, Milwaukee, 1968.

  А. И. Ракитов.

Логика отношений

Ло'гика отноше'ний, раздел логики, посвященный изучению отношений между объектами различной природы. В естественных языках отношения выражаются сказуемыми предложений, имеющих более одного подлежащего (или подлежащее и одно или несколько дополнений). В зависимости от числа этих подлежащих (или подлежащих и дополнений) говорят о бинарных (двуместных, двучленных), тернарных (трёхместных, трёхчленных), вообще n-арных (n-местных, n-членных) отношениях. В формализованных языках математической логики аналогом понятия отношения служит понятие (многоместного) предиката; соответственно современная модификация Л. о. называется логикой предикатов. На языке теории множеств и алгебры n-местным отношением называется класс упорядоченных систем из n элементов; если, например, упорядоченная пара <х, у> принадлежит некоторому отношению R, то говорят, что х находится в отношении R к у. Для понимаемых таким образом отношений определяются понятия области определения данного отношения (множество первых элементов входящих в него пар) и области значений (множество их вторых элементов) и аналогично тому, как это делается в теории множеств, вводятся операции объединения (суммы) и пересечения (произведения) отношений. В получающейся «алгебре отношений» (термин, также употребляемый как синоним термина «Л. о.») роль «единицы» играют т. н. отношения эквивалентности, т. е. отношения, обладающие свойствами рефлексивности (для всех х имеет место xRx), симметричности (из xRy следует yRx) и транзитивности (из xRy и yRz следует xRz). К этому важнейшему классу отношений принадлежит, например, равенство чисел, подобие многоугольников, параллельность прямых и т. п. Другой важнейший класс отношений — т. н. отношения порядка (рефлексивные и транзитивные, но несимметричные — «нестрогий» порядок; транзитивные, но нерефлексивные и несимметричные — «строгий» порядок; примерами могут соответственно служить отношения «не больше» и «меньше» для чисел или отрезков). В терминах отношений (и с использованием аппарата алгебры отношений) вводятся многие важнейшие понятия логики и математики, в частности понятия функции и операции.

  Ю. А. Гастев.

Логика предикатов

Ло'гика предика'тов, раздел математической логики, изучающий логические законы, общие для любой области объектов исследования (содержащей хоть один объект) с заданными на этих объектах предикатами (т. е. свойствами и отношениями). В результате формализации Л. п. принимает вид различных исчислений. Простейшими логическими исчислениями являются исчисления высказываний. В более сложных исчислениях предикатов описываются логические законы, связывающие объекты исследования с отношениями между этими объектами.

  В классическом исчислении предикатов употребляются следующие знаки: 1) т. н. предметные переменные — буквы х, у, z,..., которые содержательно рассматриваются как неопределённые имена объектов исследования теории; 2) предикатные переменные — знаковые комплексы вида Pm, Qn, Rl,... (m, n, l — натуральные числа), причём, например, Qn означает произвольное n-местное отношение между объектами; 3) знаки для логических связок: конъюнкции &, дизъюнкции , импликации É, отрицания ù, означающие соответственно «... и...», «... или...», «если..., то...», «неверно, что...»; 4) знаки для кванторов " (квантор всеобщности), 3 (квантор существования), означающие соответственно «для всех...» и «существует... такое, что...»; 5) запятая, скобки (для уточнения строения формул).

  Если Qn есть n-местная предикатная переменная, a x1,..., xn — предметные переменные, то выражение Qn (x1,..., xn) есть, по определению, атомарная (элементарная) формула. Индекс n у предикатной переменной в атомарной формуле обычно опускается. Содержательно Q (x1,..., xn) означает высказывание, гласящее, что объекты x1,..., xn связаны отношением Q. Формулами считаются атомарные формулы, а также выражения, получаемые из них посредством следующих операций образования новых формул из уже полученных: 1) если j и  — формулы, то (j&), (j), (jÉ) и ùj — также формулы; 2) если j — формула и х — предметная переменная, то "xj, $xj — формулы. Определением формулы заканчивается описание языка исчисления предикатов.

  Вхождение предметной переменной х в формулу j называется связанным, если х входит в часть j вида $xj или "xj или стоит непосредственно после знака квантора. Несвязанные вхождения переменной в формулу называются свободными. Если найдётся хоть одно свободное вхождение х в j, то говорят, что переменная х входит свободно в j или является параметром j. Интуитивно говоря, формула j с параметрами выражает некоторое условие, которое превращается в конкретное высказывание, если (конкретизировав предварительно область объектов) приписать определённые значения входящим в формулу параметрам и предикатным буквам. Связанные же переменные не имеют самостоятельного значения и служат (вместе с соответствующими кванторами) для обозначения общих утверждений или утверждений существования. Если j — формула, а х и у — предметные переменные, то через j(х&frac12;у) будет обозначаться результат замещения всех свободных вхождений x в j на y (а если при этом у оказалось на месте х в части формулы вида "y или $y, то следует дополнительно заменить все связанные вхождения у в эту часть на переменную, не входящую в j; это делается для того, чтобы не допустить искажения смысла j при замене х на у).

  Пусть j, , h — произвольные формулы, а х и у — предметные переменные. Тогда формулы следующих видов принимаются в качестве аксиом классического исчисления предикатов:

  1. (jÉ(Éh)),

  2. ((jÉ(Éh))É((jÉ)É(jÉh))),

  3. ((j&)Éj),

  4. ((j&)É),

  5. (jÉ(É(j&))),

  6. ((jÉh)É((Éh)É((j)Éh))),

  7. (jÉ(j)),

  8. (É(j)),

  9. (ùjÉ)(jÉ)),

  10. ((jÉ)É((jÉù)Éùj))

  11. (jùj),

  12. ("xjÉj(x/y)),

  13. (j(x/y) É$xj).

  В исчислении предикатов употребляются след. три правила вывода. 1) Правило вывода заключений: из формул j и (jÉ) выводится формула . Два кванторных правила вывода: 2) из формулы (jÉ), где  не содержит свободно х, можно вывести (jÉ"x); 3) из формулы (jÉ), где  не содержит свободно х, можно вывести ($xjÉ).

  В отличие от других формулировок исчисления (см., например, Логика, раздел Предмет и метод современной логики), здесь j,  и h не принадлежат языку рассматриваемого исчисления, а обозначают его произвольные формулы; поэтому каждая из записей 1—13 есть аксиомная схема, «порождающая» при подстановке вместо греческой буквы некоторую конкретную аксиому; специальных правил подстановки при этой формулировке не надо.