Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Иэн Стюарт

Это все, что нам понадобится. Но без этого, я полагаю, нам не обойтись.

Чего математикам эпохи Возрождения сначала никак не удавалось ухватить, пока последующие поколения этого не поняли, так это того факта, что данная формула есть не просто решение одного типа кубических уравнений. Это — полное решение всех типов кубических уравнений, с точностью до простых алгебраических преобразований. Для начала, если кубический член есть, скажем, 5x3, а не x3, то можно просто разделить все уравнение на 5; с этим-то математики эпохи Возрождения неплохо разобрались. Более тонкая идея, которая потребовала тихой революции во взглядах на числа, состоит в том, что если разрешить коэффициентам а и b быть при необходимости отрицательными, то можно избежать бесплодных разграничений между различными случаями. Наконец, имеется чисто алгебраический фокус: если в уравнение входит квадрат неизвестного, от него всегда можно избавиться — надо заменить x на x плюс специальным образом подобранная постоянная, и если все сделать правильно, то слагаемое с квадратом замечательным образом исчезает. Здесь опять же будет легче, если перестать беспокоиться о том, являются ли числа положительными или отрицательными. Наконец, математики Возрождения тревожились по поводу слагаемых, которые полностью отсутствовали в уравнении, в то время как, на наш современный взгляд, средство от их тревоги очевидно: такие слагаемые не столько отсутствуют, сколько имеют перед собой коэффициент, равный нулю. Тогда одна и та же формула применима во всех случаях.

Задача решена?

Не совсем. Я вас обманул.

Обман вот где: я сказал, что формула Кардано решает все кубики (то есть кубические уравнения). В некотором смысле это утверждение неверно, и этот факт оказался важным. С другой стороны, обман был не очень серьезным, поскольку все зависит от того, что понимать под словом «решает».

Сам Кардано заметил эту сложность — и этот факт красноречиво свидетельствует о его внимании к мелочам. Кубическое уравнение, как правило, имеет или три решения (меньше, если исключить отрицательные числа), или одно. Кардано заметил, что когда имеются три решения — скажем, 1, 2 и 3, — то их никаким разумным образом не удается получить из формулы для решений. Вместо этого появляются квадратные корни из отрицательных чисел.

А именно, Кардано заметил, что кубическое уравнение x3 = 15x + 4 имеет очевидное решение x = 4. Но, применив формулу Тартальи, он получил «ответ»

казавшийся бессмысленным.

Немногие среди европейских математиков тех дней были настолько отчаянными, чтобы согласиться принять отрицательные числа. Их коллеги на Востоке пришли к пониманию отрицательных величин намного раньше. В Индии последователи джайнизма развили зачатки понятия отрицательных величин уже в 400 году, а в 1200-м в китайской системе «счетных палочек» использовались красные палочки для положительных чисел и черные для отрицательных — хотя и только в определенном, ограниченном контексте.

Если уже отрицательные числа вызывали затруднение, то квадратные корни из них представляли собой затруднение куда большее. Сложность состоит в том, что квадрат как положительного, так и отрицательного числа всегда положителен — я не буду объяснять почему, но это единственный способ заставить все законы алгебры работать непротиворечивым образом. Так что, даже если вы не против использования отрицательных чисел, вам вроде бы придется признать, что разумным способом изрекать квадратные корни из них нельзя. А поэтому всякое алгебраическое выражение, содержащее квадратный корень из отрицательной величины, должно быть бессмыслицей.

И тем не менее формула Тартальи привела Кардано именно к таким выражениям. В особенности тревожил его тот факт, что в случаях, когда было известно решение, полученное каким-то другим способом, формула как будто отказывалась его воспроизводить.

В 1539 году обеспокоенный Кардано решил обсудить вопрос с Тартальей: «Я обратился с вопросом о решении различных проблем, на которые вы не дали мне ответа; одна из них — задача о кубе, равном неизвестному плюс число. Я, без сомнения, уловил правило, но когда куб одной трети коэффициента при неизвестном превосходит квадрат половины числа, тогда, как кажется, я не могу с помощью этого правила удовлетворить мое уравнение».

Здесь Кардано в точности описывает условие, когда квадратный корень оказывается корнем из отрицательного числа. Ясно, что он превосходно ухватил всю суть вопроса и обнаружил подводный камень. Менее ясно, достиг ли Тарталья того же уровня понимания своей собственной формулы, потому что ответ его сводился к следующему: «Вы не владеете настоящим способом решения задач этого типа…. Ваши методы целиком неправильны». Возможно, Тарталья намеренно отказывал Кардано в помощи. А может быть, он просто не понимал, о чем тот говорит. Как бы то ни было, Кардано смог разглядеть трудный вопрос, которому предстояло занимать умы математиков всего мира в течение последующих 250 лет.

Даже во времена Возрождения проскальзывали намеки, что здесь происходит нечто важное. Тот же вопрос возник в другой задаче, обсуждавшейся в «Великом искусстве», — найти два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Получалось «решение» 5 + √−15 и 5 − √−15. Кардано заметил, что если не обращать внимания на вопрос о том, что же означает квадратный корень из минус пятнадцати, а просто делать вид, что перед нами обычный квадратный корень, то удается проверить, что эти «числа» действительно удовлетворяют требуемому уравнению. При их сложении друг с другом квадратные корни сокращаются, а две остающиеся пятерки складываются в число 10, как того и требовало условие задачи. При умножении же получается 25 − (√−15)2, что равно 25 + 15, т.е. 40. Кардано не знал, как понять эти странные вычисления. «Таковы, — писал он, — пути арифметической изысканности, приводящей в конце концов к вещам столь же изощренным, сколь и бесполезным».

В своей «Алгебре» 1572 года Рафаэле Бомбелли — сын болонского торговца шерстью — заметил, что подобные же вычисления, в которых с «мнимыми» корнями обращаются так, как если бы они были настоящими числами, позволяют преобразовать таинственную формулу для решения озадачившего Кардано кубического уравнения в правильный ответ x = 4. Книгу он написал, чтобы занять свободное время, образовавшееся у него, пока он руководил осушением болот для Апостольской палаты — папского юридического и финансового ведомства. Бомбелли заметил, что

(2 + √−1)3 = 2 + √−121

и

(2 − √−1)3 = 2 − √−121,

так что сумма двух странных кубических корней принимает вид

(2 + √−1) + (2 − √−1),

что равно 4. Бессмысленный корень каким-то образом оказался осмысленным и привел к правильному ответу. Бомбелли, возможно, был первым математиком, кто понял, что можно выполнять алгебраические действия с квадратными корнями из отрицательных чисел и получать при этом осмысленные ответы. Это недвусмысленно намекало, что таким числам можно дать разумную интерпретацию, но у Бомбелли не было указаний на то, какую именно.

Математической вершиной книги Кардано была не кубика, а квартика. Его ученик Феррари сумел перенести методы Тартальи и дель Ферро на уравнения, содержащие четвертую степень неизвестного. Формула Феррари включает только квадратные и кубические корни — корни четвертой степени не нужны, поскольку такой корень есть просто квадратный корень квадратного корня.

«Великое искусство» не содержит решения квинтики — уравнения, в котором неизвестное появляется в пятой степени. Но ведь по мере возрастания степени уравнения метод его решения в свою очередь усложнялся, так что мало кто сомневался, что, применив достаточную изобретательность, можно будет решить и уравнение пятой степени — скорее всего, потребуется использовать корни пятой степени, так что соответствующая формула окажется весьма громоздкой.

Кардано не стал тратить время на поиски такого решения. После 1539 года он вернулся к другим своим многочисленным занятиям, в особенности к медицине. В это время его семейная жизнь начала рушиться самым ужасающим образом: «Мой [младший] сын между днем своей женитьбы и днем своего рокового конца был арестован по обвинению в попытке отравления собственной жены, пока она еще оправлялась после родов. В 17-й день февраля он был задержан, а пятьдесят три дня спустя, 13 апреля, обезглавлен в тюрьме». Кардано пытался примириться с этой трагедией, но беда не приходит одна. «Наш дом — мой дом — на протяжении нескольких дней стал свидетелем трех похорон: моего сына, маленькой внучки Диареджины и кормилицы; мой новорожденный внук также был недалек от смерти». При всем этом в силу своей природы Кардано был неисправимым оптимистом: «Тем не менее во мне еще так много благодати, что, если бы она принадлежала кому-то другому, тот бы считал себя счастливчиком».