До предела чисел. Эйлер. Математический анализ. - Joaquin Sandalinas

В ней впервые появляются уравнения для механики жидкостей, описывающие движение жидкости, которую нельзя сжать и у которой нет вязкости.

Сегодня такую жидкость назвали бы идеальной. Мы же рассмотрим не саму идеальную жидкость, а уравнения Эйлера, записанные в современном виде. Лаплас (1749-1827) добавил к этим уравнениям важную деталь — адиабатическую составляющую (то есть предположил, что количество тепла в системе неизменно). На современном тензорном языке уравнения выглядят так:

где р — плотность жидкости, v — ее векторная скорость, Е — общая энергия на единицу объема и давление. Предполагается, что вязкость потока не имеет значения, однако это нельзя утверждать с такой уверенностью для более сложных формул, например для уравнений Навье — Стокса. По мере того как уравнения становятся все более сложными — и все более близкими к реальности, логично, что количество предпосылок в них уменьшается. Уравнения Навье — Стокса известны как одна из проблем тысячелетия, за решение которой Институт Клэя готов выплатить миллион долларов.

Теорему Бернулли для гидродинамики можно вывести, проинтегрировав уравнения Эйлера. Таким образом, нет сомнений, что они имеют огромное значение, ведь из них выводится принцип полета крылатого тела, более тяжелого, чем воздух. В прошлом уравнения Эйлера применялись в изучении самых разных явлений — большого красного пятна на Юпитере, кровообращения, аэродинамики автомобилей — и продолжают использоваться сейчас. В эссе 1756 года Эйлер подробнейшим образом изучил турбины, приводимые в движение жидкостью, и это исследование до сих пор остается непревзойденным.

Уравнения Эйлера являются дифференциальными нелинейными уравнениями, с которыми не всегда легко работать. Изобретение компьютеров с их огромными вычислительными способностями дало физикам возможность находить их приближенные числовые решения. Вероятно, получить точное и элегантное решение невозможно, зато можно добиться хорошего приблизительного результата.

Компьютеры сделали неоценимый вклад в решение уравнений Эйлера и Навье — Стокса: с их помощью можно имитировать механическое движение жидкости. Тем не менее пока не представляется возможным решить уравнения ее движения.

С исторической точки зрения эти аналитические уравнения уже были рассмотрены в 1752 году Д’Аламбером и Эйлером, ис- пользовавшими их в разных областях, например в гидродинамике. Уже в 1777 году эти уравнения появляются среди других аналитических выражений ученого, хотя они были опубликованы только после его смерти. Они постулируют равенство частных производных следующим образом: предположим, что функцию ƒ(x + iy) комплексной переменной можно разделить на действительную и мнимую части:

ƒ(x + yi) = u (х,у) + iv (х,у)

и что u и v можно продифференцировать как функции двух переменных в действительной области R. Следовательно, их частные производные удовлетворяют условиям

∂u/∂x = ∂v/∂y

∂u/∂x = ∂v/∂x

И наоборот, если u и v можно продифференцировать как действительные функции и при этом выполняются предыдущие равенства для производных, то ƒ — дифференцируемая функция и ƒ = u + iv.

Эти уравнения встречаются уже на первых страницах современного учебника по комплексному анализу и знакомы всем студентам, изучающим физику и инженерное дело.

Эйлер нашел время для изучения вопросов статистики и вероятностей. И хотя его исследования в этой области были не слишком обширны, о них стоит упомянуть. Иногда ученый говорил об этих работах в переписке с королем Фридрихом II. Некоторые изыскания ученого касаются азартных игр и пари — в то время эта область считалась научной. Действительно, в них часто решались задачи, впоследствии приобретавшие большое научное значение. Как и другие выдающиеся математики, например Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) или Пьер-Симон Лаплас, Эйлер изучал карточную игру treize (413"), известную также под названием "встреча" (или "совпадения"). Затем он углубился в лотереи, возникшие как раз в это время, и в страхование жизни, а также в статистику жизни и смерти. Пенсия и ежегодные взносы, которые необходимо выплачивать для ее получения, высчитываются на основе этой статистики, поскольку их объем зависит от большей или меньшей вероятности смерти человека.

Эйлер написал принцессе Ангальт-Дессау, племяннице Фридриха, более 200 писем. В 1768 году они были собраны в один том под названием Lettres è une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie ("Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях·). И даже в таком, казалось бы, легком жанре Эйлеру удалось удивить современников. В некоторых письмах (102-105) он рассуждает о силлогизмах и, чтобы лучше объяснить свою мысль, прибегает к диаграммам, как на рисунках 1 и 2.

РИС. 1

РИС . 2

Они напоминают диаграммы Джона Венна (1834-1923), хотя отличаются по смыслу. То, что Венн изобразил бы в виде диаграммы на рисунке 3, для Эйлера было бы рисунком 4. Венн изображал фрагмент диаграммы, даже если он был пустым, в то время как Эйлер, не думавший об общей картине, не считал это возможным. Венн называл свои диаграммы не диаграммами Венна, как их обозначают сегодня, а диаграммами Эйлера, так что не требуется уточнять, кто был источником его вдохновения.

РИС.3

РИС. 4

Ученый также занимался теорией ошибок, которая, однако, стала полноценной теорией только после создания Гауссом метода наименьших квадратов. Необходимо помнить, что в то время погрешности в измерениях подсчитывались путем вывода их среднего арифметического. Положительные и отрицательные величины среди отклонений компенсировали друг друга, следовательно, невозможно было понять природу каждой отдельной ошибки и исправить ее.

В Пруссии Эйлер написал несколько работ, которые можно называть второстепенными, если сравнивать их с другими фундаментальными трудами из его обширного наследия. В 1744 году вышла книга о траектории планет и комет, Theoria motuum planetarum et cometarum ("Теория движения планет и комет"), а в 1746 году — трактат по оптике, в котором говорится о свете и цветах,— Nova theoria lucis et colorum ("Новая теория света и цветов"). Вслед за Христианом Гюйгенсом (1629-1695) Эйлер склонялся к волновой гипотезе, превалировавшей над корпускулярной вплоть до создания квантовой механики. В 1745 году был опубликован сделанный Эйлером перевод на немецкий язык книги New Principles of Gunnery ("Новые принципы артиллерийского искусства") Бенджамина Роббинса (1707-1751). Ученый сделал такое количество комментариев, исправлений и дополнений, что фактически написал книгу заново.

В 1765 году, когда Эйлер уже переезжал в Россию, в печать отправилась Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum ( "Теория движения твердых тел") — второй трактат по механике. Он стал улучшенным вариантом первого (в котором методы математического анализа впервые применялись в механике), поскольку в нем появились уравнения, впоследствии названные дифференциальными уравнениями движения твердого тела, подверженного действию внешних сил, и углы Эйлера, связанные с использованием систем координат, одна из которых неподвижна, а вторая привязана к движущемуся телу так, что его движение оказывается разложено на линейное и вращательное. Все специалисты подчеркивают оригинальность некоторых исследований, например изучения оси вращения обычной юлы, которое подводит к понятию нутации и прецессии равноденствий.

Мы уже говорили, что еще одной страстью Эйлера была картография. В течение нескольких лет ученый принимал участие в создании атласа России. В результате он был напечатан в 1745 году и состоял из 20 карт. Эйлер очень гордился этим достижением и утверждал, что благодаря этому атласу российская картография обогнала немецкую.

Тем не менее, несмотря на обширную деятельность ученого, нельзя думать, что все написанное им было верным. В работах Эйлера встречается неизбежный недостаток той эпохи — отсутствие точности в операциях и определениях. Многие его догадки справедливы не потому, что строго доказаны, а просто потому, что они работают. В XIX веке ученые потратили немало сил, чтобы дать основу дерзким предположениям Эйлера, определив такие понятия, как предел, сходимость или непрерывность, с помощью которых удалось залатать дыры в доказательствах многих его предположений. Математика стала скучнее, но точнее.

Эйлер оставил след в огромном количестве самых разных областей знания и написал работы обо всем, что вызывало его интерес, однако для многих он стал в первую очередь отцом современного математического анализа, как если бы это было его основной заслугой. В предыдущем параграфе мы рассмотрели вклад Эйлера в вариационное исчисление. В последующие годы ученый — видимо, вдохновленный своим успехом — углубил и структурировал обширные знания по анализу в нескольких трактатах.