Магия вычитания лишнего. Как упростить себе жизнь, убрав из нее ненужную информацию, привычки и обязательства - Лейди Клотц

была гораздо менее важной, чем между одним и двумя. Группа из девяти мамонтов представляла в основном ту же угрозу выживанию и возможность для получения белка в виде пищи, что и из восьми. С другой стороны, завалить одного мамонта с камнем в руках было гораздо проще, если рядом нет его товарища.

Важно не абсолютное количество добавленного, которое одинаково в обоих сравнениях (один мамонт). Полезнее будет рассматривать относительное количество добавленных мамонтов: на 13 процентов больше мамонтов при увеличении с восьми до девяти и на 100 процентов – при увеличении с одного до двух. Если полагаться на инстинкты, то разница между одним и двумя становится больше, чем между восемью и девятью. Чем больше количество, тем меньше будет казаться разница на каждую новую единицу изменения.

Зная, как работает чувство относительной величины, мы можем задавать важные вопросы: говорит ли это в пользу большего? Отрицательно ли это характеризует меньшее?

Давайте вернемся к детям и конфетам. Дети не так точно используют этот инстинкт при вычитании тридцати из восьмидесяти, как при сложении двадцати и тридцати, хотя результат в обоих случаях равен пятидесяти. Когда дети приходят к результату в пятьдесят конфет, добавляя тридцать конфет к двадцати, их точность основывается на том, как они воспринимают тридцать и двадцать. С другой стороны, когда дети получают пятьдесят конфет, вычитая тридцать конфет из восьмидесяти, тогда их точность основывается на ощущении тридцати и восьмидесяти.

В обоих случаях дети ощущают число тридцать одинаково. Однако число восемьдесят они будут ощущать менее точно, чем двадцать.

Когда мы полагаемся на приближенные оценки, точность будет зависеть не от конечного количества, а от того, из каких чисел мы его получили. Это означает, что при равных результатах сложение будет точнее, чем вычитание. Возможно, именно поэтому совет «начать с малого» столь хорошо воспринимается при подготовке к переменам. Труднее представить себе возможность начать с чего-то большого.

Меня поразило то, что наше шестое чувство может сказать о пренебрежении вычитанием. Было ли труднее представить себе, как изменится город, если убрать автостраду, или как изменится система расизма с помощью дивестиций? Может быть, подумал я, то обстоятельство, что мы хуже чувствуем меньшее, является одной из причин, по которой нам трудно воспринимать вычитание как возможность. Как и накопительский инстинкт, чутье на величины точно не склоняет нас к меньшему.

За три с половиной века до Станисласа Деана другой французский ученый, Блез Паскаль, внес вклад в развитие науки, благодаря которому его имя сегодня носит единица измерения давления, язык программирования и теория вероятности, популярная среди актуариев и азартных игроков. Но даже гениальный Паскаль упустил из виду один тип меньшего. В своей книге под метким названием «Мысли» (Pensées) он с тревогой писал: «Я знаю людей, которые не могут понять, что при вычитании четырех из нуля остается ноль».

Хотя нам это утверждение кажется странным, оно соответствовало представлениям того времени – всеобщему мнению, истоки которого лежат в том факте, что нельзя вернуться с охоты меньше чем с нулем мамонтов или сделать меньше нуля засечек на малоберцовой кости бабуина. Ко временам Паскаля столько блестящих умов подарили миру алгебру, геометрию, даже исчисление, и при всем этом отрицательные числа никогда не считались приемлемым решением. Паскаль считал саму идею нуля минус четыре «чистой бессмыслицей», потому что результат получается отрицательным.

Многие примеры вычитания – например, те, что проверялись на детях в Гарварде, – не приводят к отрицательным числам. И Паскаль рассуждал о математике, которая является лишь одним из абстрактных представлений нашего инстинкта относительных количеств. Тем не менее, если мы откажемся хотя бы допустить малейшую возможность существования меньшего, мы, естественно, не будем рассматривать его как вариант.

Вспомните, как вы учились вычитанию, его арифметической версии. Или, если вам повезло знать детей, которые только учатся считать, обратите внимание на то, как они это делают. Осязаемые вещи, например аппетитные конфеты или полезные яблоки, часто используют для того, чтобы объяснить детям, что абстрактные числа соотносятся с реальными объектами. Такой подход – взять определенное количество вещей, а затем убрать некоторые из них – лежит в основе того, что учителя математики называют числовой линейкой.

Числовая линейка помогает детям визуализировать меньшее и большее – но только до тех пор, пока результаты остаются положительными. Представьте, что ваше шестилетнее «я» столкнулось со словом «проблема»:

У Розы пять конфет.

Двадцать у нее забрали.

Тебе только что солгали. Или, как колко заметил сын Бена во время проведения (и воспроизведения) этого эксперимента: «Такое неможно».

Как показано ниже, наше чутье на относительные величины затрудняет точное представление о результатах вычитательных изменений. И если эти изменения отнимают больше, чем было, то они «неможны».

Рисунок 3. Как числовая линейка и наше восприятие количества препятствуют вычитанию.

Если говорить о числовой линейке, то Паскаль был прав. Отрицательные числа – это нонсенс, если мы используем яблоки или конфеты (или ложки гороха) в качестве единиц изменения меньшего и большего.

Альтернативой числовой линейке является система координат, которая, вместо того чтобы связывать абстрактные числа с объектами, побуждает нас представить в уме пространственную числовую линию. Если вас семилетнего попросили бы вычесть двадцать из пяти, используя систему координат, вы сначала поместили бы каждое число на мысленную числовую линию. Ваш ответ был бы «пятнадцать» – расстояние между двадцатью и пятью. Теперь семилетний вы правильно определили количество, но не знак.

Дети начинают правильно понимать знаки, когда используют систему координат в ситуациях, когда отрицательное значение имеет для них смысл. Например, хороший учитель может рассказать ученикам, что днем на детской площадке пять градусов по Цельсию, а ночью температура падает на двадцать градусов по Цельсию. Предполагая, что дети имеют опыт взаимодействия с метрической системой (и по-настоящему холодной погодой), они могут представить себе значение меньше нуля. Вместо нуля как минимально возможного меньшего значения нуль становится температурой, при которой замерзает вода, что напоминает нам о том, что существуют температуры ниже. При вычитании двадцати из пяти получается очень разумное «минус пятнадцать».

Абстрактная идея отрицательных чисел не