Большая Советская энциклопедия (ГЕ) - БСЭ

  Обобщение предмета геометрии. Возможность обобщения и видоизменения геометрических понятий легче всего уяснить на примере. Так, на поверхности шара можно соединять точки кратчайшими линиями — дугами больших кругов, можно измерять углы и площади, строить раз личные фигуры. Их изучение составляет предмет Г. на сфере, подобно тому, как планиметрия есть Г. на плоскости; Г. на земной поверхности близка к Г. на сфере. Законы Г. на сфере отличны от законов планиметрии; так, например, длина окружности здесь не пропорциональна радиусу, а растет медленнее и достигает максимума для экватора; сумма углов треугольника на сфере непостоянна и всегда больше двух прямых. Аналогично можно на любой поверхности проводить линии, измерять их длины, углы между ними, определять ограниченные ими площади. Развиваемая так Г. на поверхности называется её внутренней Г. (К. Гаусс, 1827). На неравномерно изогнутой поверхности соотношения длин и углов будут различными в разных местах, следовательно, она будет геометрически неоднородной, в отличие от плоскости и сферы. Возможность получения разных геометрических соотношений наводит на мысль, что свойства реального пространства могут лишь приближённо описываться обычной Г. Эта идея, впервые высказанная Лобачевским, нашла подтверждение в общей теории относительности.

  Более широкая возможность обобщения понятий Г. выясняется из следующего рассуждения. Обычное реальное пространство понимают в Г. как непрерывную совокупность точек, т. е. всех возможных предельно точно определённых местоположений предельно малого тела. Аналогично непрерывную совокупность возможных состояний какой-либо материальной системы, непрерывную совокупность каких-либо однородных явлений можно трактовать как своего рода «пространство». Вот один из примеров. Опыт показывает, что нормальное человеческое зрение трёхцветно, т. е. всякое цветовое ощущение Ц есть комбинация — сумма трёх основных ощущений: красного К, зелёного З и синего С, с определёнными интенсивностями. Обозначая эти интенсивности в некоторых единицах через х, у, z, можно написать Ц = xK + уЗ + zC. Подобно тому, как точку можно двигать в пространстве вверх и вниз, вправо и влево, вперёд и назад, так и ощущение цвета Ц может непрерывно меняться в трёх направлениях с изменением составляющих его частей — красного, зелёного и синего. По аналогии можно сказать, что совокупность всех цветов есть трёхмерное пространство — «пространство цветов». Непрерывное изменение цвета можно изображать как линию в этом пространстве. Далее, если даны два цвета, например красный К и белый Б, то, смешивая их в разных пропорциях, получают непрерывную последовательность цветов, которую можно назвать прямолинейным отрезком КБ. Представление о том, что розовый цвет Р лежит между красным и белым и что более густой розовый лежит ближе к красному, не требует разъяснения. Т. о., возникают понятия о простейших «пространственных» формах (линия, отрезок) и отношениях (между, ближе) в пространстве цветов. Далее, можно ввести точное определение расстояния (например, по числу порогов различения, которое можно проложить между двумя цветами), определить поверхности и области цветов, подобно обычным поверхностям и геометрическим телам, и т.д. Так возникает учение о пространстве цветов, которое путём обобщения геометрических понятий отражает реальные свойства цветного зрения человека (см. Колориметрия).

Другой пример. Состояние газа, находящегося в цилиндре под поршнем, определяется давлением и температурой. Совокупность всех возможных состояний газа можно представлять поэтому как двумерное пространство. «Точками» этого «пространства» служат состояния газа; «точки» различаются двумя «координатами» — давлением и температурой, подобно тому как точки на плоскости различаются значениями их координат. Непрерывное изменение состояния изображается линией в этом пространстве.

  Далее, можно представить себе любую материальную систему — механическую или физико-химическую. Совокупность всех возможных состояний этой системы называют «фазовым пространством». «Точками» этого пространства являются сами состояния. Если состояние системы определяется n величинами, то говорят, что система имеет n степеней свободы. Эти величины играют роль координат точки-состояния, как в примере с газом роль координат играли давление и температура. В соответствии с этим такое фазовое пространство системы называют n-мерным. Изменение состояния изображается линией в этом пространстве; отдельных области состояний, выделяемые по тем или иным признакам, будут областями фазового пространства, а границы областей будут поверхностями в этом пространстве. Если система имеет только две степени свободы, то её состояния можно изображать точками на плоскости. Так, состояние газа с давлением р и температурой Т изобразится точкой с координатами р и Т, а процессы, происходящие с газом, изобразятся линиями на плоскости. Этот метод графического изображения общеизвестен и постоянно используется в физике и технике для наглядного представления процессов и их закономерностей. Но если число степеней свободы больше 3, то простое графическое изображение (даже в пространстве) становится невозможным. Тогда, чтобы сохранить полезные геометрические аналогии, прибегают к представлению об абстрактном фазовом пространстве. Так, наглядные графические методы перерастают в это абстрактное представление. Метод фазовых пространств широко применяется в механике, теоретической физике и физической химии. В механике движение механической системы изображают движением точки в её фазовом пространстве. В физической химии особенно важно рассматривать форму и взаимное прилегание тех областей фазового пространства системы из нескольких веществ, которые соответствуют качественно различным состояниям. Поверхности, разделяющие эти области, суть поверхности переходов от одного качества к другому (плавление, кристаллизация и т.п.). В самой Г. также рассматривают абстрактные пространства, «точками» которых служат фигуры; так определяют «пространства» кругов, сфер, прямых и т.п. В механике и теории относительности вводят также абстрактное четырёхмерное пространство, присоединяя к трём пространственным координатам время в качестве четвёртой координаты. Это означает, что события нужно различать не только по положению в пространстве, но и во времени.

  Т. о., становится понятным, как непрерывные совокупности тех или иных объектов, явлений, состояний могут подводиться под обобщённое понятие пространства. В таком пространстве можно проводить «линии», изображающие непрерывные последовательности явлений (состояний), проводить «поверхности» и определять подходящим образом «расстояния» между «точками», давая тем самым количественное выражение физическая понятия о степени различия соответствующих явлений (состояний), и т.п. Так по аналогии с обычной Г. возникает «геометрия» абстрактного пространства; последнее может даже мало походить на обычное пространство, будучи, например, неоднородным по своим геометрическим свойствам и конечным, подобно неравномерно искривленной замкнутой поверхности.

  Предметом Г. в обобщённом смысле оказываются не только пространственные формы и отношения, но любые формы и отношения, которые, будучи взяты в отвлечении от своего содержания, оказываются сходными с обычными пространственными формами и отношениями. Эти пространственно-подобные формы действительности называют «пространствами» и «фигурами». Пространство в этом смысле есть непрерывная совокупность однородных объектов, явлений, состояний, которые играют роль точек пространства, причём в этой совокупности имеются отношения, сходные с обычными пространственными отношениями, как, например, расстояние между точками, равенство фигур и т.п. (фигура — вообще часть пространства). Г. рассматривает эти формы действительности в отвлечении от конкретного содержания, изучение же конкретных форм и отношений в связи с их качественно своеобразным содержанием составляет предмет других наук, а Г. служит для них методом. Примером может служить любое приложение абстрактной Г., хотя бы указанное выше применение n-мерного пространства в физической химии. Для Г. характерен такой подход к объекту, который состоит в обобщении и перенесении на новые объекты обычных геометрических понятий и наглядных представлений. Именно это и делается в приведённых выше примерах пространства цветов и др. Этот геометрический подход вовсе не является чистой условностью, а соответствует самой природе явлений. Но часто одни и те же реальные факты можно изображать аналитически или геометрически, как одну и ту же зависимость можно задавать уравнением или линией на графике.