Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим - Лев Понтрягин

Статья не вошла в файл из-за трудностей конвертации математического текста в формат fb2. — прим. автора fb2-версии

О математике и качестве её преподавания

Моё внимание привлекло в школьном учебнике определение вектора.

Вместо общепринятого и наглядного представления о нём как о направленном отрезке (именно такое определение, например, сохранилось и в «Политехническом словаре», М., «Советская энциклопедия», 1976, с. 71) школьников заставляют заучивать следующее: «Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (A, B) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка M отображается на такую точку M1, что луч MM1 сонаправлен с лучом AB и расстояние |MM1| равно расстоянию |AB|» (В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. 6-е изд. М., «Просвещение», 1980, с. 42).

В этом сплетении слов разобраться нелегко, а главное — оно бесполезно, поскольку не может быть применено ни в физике, ни в механике, ни в других науках.

Что же это? Насмешка? Или неосознанная нелепость? Нет, замена в учебниках многих сравнительно простых, наглядных формулировок на громоздкие, нарочито усложнённые, оказывается, вызвана стремлением... усовершенствовать (!) преподавание математики.

Если бы приведённый мною пример был только досадным исключением, то ошибку, по-видимому, легко можно было бы устранить. Но, на мой взгляд, в подобное состояние, к сожалению, пришла вся система школьного математического образования...

Однако прежде, чем об этом говорить, целесообразно высказать предварительные замечания о самой математике. Значение её на наших глазах возрастает, своими приложениями она охватывает всё новые области познания и практики. Одновременно происходит стремительный прогресс и в ней самой. Возникнув некогда как сугубо прикладная наука и имея своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира — то есть весьма реальный материал, — в ходе своего развития математика принимала всё более абстрактную форму, которая в известной степени затушевывала её «земное» происхождение. Ведь чтобы исследовать названные формы и отношения в чистом виде, приходилось мысленно отделять их от содержания, оставляя его в стороне как нечто безразличное. На это не случайно указал Ф. Энгельс в своей гениальной работе «Анти-Дюринг».

Отвлекаясь от действительности, люди получили точки, лишённые измерений, линии, лишённые толщины и ширины, разные «a» и «b», «x» и «y», постоянные и переменные величины, а далее — дошли до продуктов «свободного творчества и воображения самого разума» — до мнимых величин. «Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения», — писал Энгельс (К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, с. 37). И выведение математических понятий друг из друга, кажущееся не опирающимся на определённые данные и факты, доказывает не их априорное возникновение, а лишь их рациональную связь. Нельзя не согласиться с мыслью: «Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей... Но, как и во всех других областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться... Чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей, — и как раз только поэтому и может вообще применяться» (там же, с. 37–38).

«Воспаряя» над жизнью, над действительностью, математика в силу необходимости своего же развития непременно то и дело возвращается к своим истокам, к практике, находя в ней тот оселок, на котором она удостоверяется в действительной ценности своих теоретико-математических построений и пересматривает или утверждает свои основания, совершенствует свои подходы и методы.

Поэтому несерьёзными выглядят философствования типа, например, следующего: «Общепринято (?! — Л. П.) математику подразделять на следующие отрасли: чистую математику (или собственно математику), прикладную математику и метаматематику. В свою очередь, чистая математика подразделяется на формальную и содержательную математики». (Цитируется брошюра о «философских проблемах математики», выпущенная издательством «Знание». Не называю имени автора только потому, что брошюра вышла семь лет назад.) В математике нет «надматематических» (ведь «мета» по-гречески означает «вне», «за пределами») разделов (отраслей), равно как совершенно нелепо подразделять её на «формальную» и «содержательную». Я отнюдь не умаляю значения специализации исследовательской деятельности на теоретическую и прикладную. Однако, познакомившись ближе, нетрудно убедиться, сколь тесно взаимодействие и взаимопереплетение фундаментальных изысканий и сферы их приложений. Высокий уровень абстракций современной математики способен гипнотизировать тех, кто не является в ней специалистом, и, очевидно, порождать в их среде досужие мнения, неверные представления, особое почтение лишь к кабалистическим формулировкам типа приведённой мною из школьного учебника и недоверие к ясности и простоте действительно научных утверждений. Именно подобное отношение, порождённое дилетантизмом в специальной области и одновременно узостью общего кругозора, способно послужить неблагоприятной почвой для принятия решений в практических делах.

Действительно, существует область математики, именуемая математической логикой, которая занимается изучением формальных математических высказываний, способов их построения, правилами вывода и тому подобными, точно определёнными в строгом математическом смысле действиями. Из сказанного, однако, не следует, будто есть целый раздел математики, как изображает процитированный автор, названный им «формальной математикой», в котором специалисты заняты-де производством практически ненужных «высказываний». Его деление «чистой математики» на «формальную и содержательную» не имеет никакого смысла и непонятно математикам. Если же учесть, что он «перемешивает» и без того трудные математические понятия с туманными философскими формулировками, прибегает к неоправданным обобщениям, то просто диву даёшься, какое пустословие можно выдавать за науку на страницах массового издания.