Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства - Леонард Млодинов

Эратосфену для вычисления части земной окружности – арки между Сиене и Александрией – хватило длины тени от палки, воткнутой в Александрии, и теоремы из «Начал» о линии, пересекающей две параллельные прямые. Он обнаружил, что эта дуга составляет одну пятидесятую от длины обхвата Земли.

Подтянув к делу, вероятно, первого в истории научного ассистента, Эратосфен нанял некого безымянного гражданина, чтобы тот прошел пешком от одного города к другому и замерил расстояние. Нанятый субъект прилежно доложил, что оно составляет примерно 500 миль. Умножив это расстояние на 50, Эратосфен определил обхват Земли в 250 000 миль – с четырехпроцентной погрешностью, а это фантастически точный результат, за который ему бы наверняка дали Нобелевскую премию, а его безымянному ходоку, быть может, – постоянную ставку в библиотеке.

Эратосфен оказался не единственным александрийцем своего времени, кто внес значительный вклад в понимание мира. Астроном Аристарх Самосский, также трудившийся в Александрии, применил гениальный, хоть и довольно затейливый метод, объединивший тригонометрию и простенькую модель небес, для расчета вполне осмысленной приблизительной величины Луны и расстояния до нее. Еще раз подчеркнем: у греков возникло новое представление об их месте во Вселенной.

Еще одна знаменитость, привлеченная Александрией, – Архимед. Родившись в Сиракузах, городе на острове Сицилия, Архимед приехал в Александрию учиться в великой школе математиков. Мы, быть может, и не знаем, кем был тот гений, что впервые обточил камень или дерево до округлой формы и поразил изумленных зевак явлением первого колеса, но мы точно знаем[64], кто открыл принцип рычага: Архимед. Он, кроме того, открыл принципы гидростатики и много разного привнес в физику и инженерное дело. Математику он поднял на такую высоту, выше которой без инструментария символьной алгебры и аналитической геометрии забраться было невозможно еще около восемнадцати веков.

Одно из достижений Архимеда в математике – доведение до совершенства методов матанализа, не слишком далеких от предложенных Ньютоном и Лейбницем. С учетом отсутствия картезианской геометрии это достижение смотрится еще более впечатляющим. Главной победой, одержанной с помощью его метода, сам Архимед считал определение объема сферы, вписанной в цилиндр (т. е. сферы, радиус которой равен радиусу и высоте цилиндра), – он равен двум третям объема этого цилиндра. Архимед так гордился этим открытием[65], что потребовал высечь изображение шара в цилиндре на своем надгробии.

Когда римляне захватили Сиракузы, Архимеду было семьдесят пять. Он был убит римским солдатом, когда изучал рисунок, вычерченный на песке. На его надгробие нанесли изображение, о котором он просил. Спустя более сотни лет римский оратор Цицерон посетил Сиракузы и нашел захоронение Архимеда рядом с воротами в город. Заброшенная могила заросла колючкой и вереском. Цицерон распорядился восстановить могилу. Увы, ныне ее уже не найти.

И астрономия в Александрии тоже достигла пика развития[66]: во II веке до н. э. – стараниями Гиппарха, а во II веке н. э. – Клавдия Птолемея (не родственника царя). Гиппарх наблюдал небеса тридцать пять лет, сложил свои наблюдения с данными вавилонян и разработал модель Солнечной системы, согласно которой пять известных тогда планет, Солнце и Луна двигались по общей круговой орбите вокруг Земли. Ему так ловко удалось описать движение Солнца и Луны, как это видно с Земли, что он мог предсказывать лунные затмения с точностью до пары часов. Птолемей усовершенствовал и расширил эти результаты в книге «Альмагест», осуществив мечту Платона дать рациональное объяснение движению небесных тел, и она была главным астрономическим трудом вплоть до Коперника.

Птолемей также написал книгу под названием «География»[67], которая описывала земное мироздание. Картография – предмет крайне математичный, поскольку карты – плоские, Земля – почти сферическая, а сферу нельзя описать при помощи плоскости, сохранив при этом точными и расстояния, и углы. «География» – начало серьезной картографии.

Ко II веку н. э. значительно развились и математика, и физика, и картография, и инженерное дело. К тому времени мы уже знали, что материя состоит из неделимых кусочков под названием атомы. Мы изобрели логику и доказательство, геометрию и тригонометрию, а также некоторую разновидность матанализа. В астрономии и науке о пространстве мы владели знанием, что мир очень стар и что мы обитаем на шаре. Мы даже располагали размерами этого шара. Мы начали понимать свое место во Вселенной. Мы изготовились двигаться дальше. Сейчас-то мы знаем, что есть и другие солнечные системы – всего-то в десятках световых лет от нас. Продлись Золотой век без заминок, мы, быть может, уже послали бы к ним исследовательские корабли. Может, мы бы оказались на Луне в 969-м, а не в 1969-м году. Может, мы бы поняли о пространстве и жизни то, что у нас сейчас и в голове не укладывается. Однако обстоятельства сложились так, что прогресс, начатый греками, задержался на тысячелетие.

Не исключено, что о причинах средневекового интеллектуального заката написано больше слов, чем было в свитках Александрийской библиотеки. Простого ответа нет. Династия Птолемеев пришла в упадок за два века до рождения Христа. Птолемей XII передал царствование сыну и дочери, унаследовавшим власть после смерти правителя в 51 году до н. э. В 49 году до н. э. его сын устроил заговор против сестрицы и прибрал всю власть к рукам. Сестрица же и сама была не промах – нашла способ добраться до самого римского императора и попросить о помощи (в те времена, хоть формально и не завися от Рима, империя Птолемеев уже находилась под римским господством). С этого начался роман Клеопатры с Юлием Цезарем. В итоге Клеопатра заявила, что собирается родить Цезарю сына. Римский император – мощный союзник египтянам, однако этот альянс был обречен – вместе с самим Цезарем. После того, как двадцать три римских сенатора напали на своего императора и закололи его во время Мартовских ид 44 года до н. э., внучатый племянник Цезаря, Октавиан, подчинил Риму и Александрию, и Египет.

Поскольку Рим завоевал Грецию, римляне получили доступ к интеллектуальному достоянию греков. Наследники греческих традиций покорили бо́льшую часть мира и столкнулись со многими техническими и инженерными трудностями, однако их императоры не поддерживали математику так, как это делали Александр или Птолемей Египетский, и цивилизация их не произвела на свет ни одного математического гения масштабов Пифагора, Евклида или Архимеда. За 1100 лет их правления – с 750 года до н. э. – история не помнит ни одной доказанной римлянами теоремы и ни одного математика. Для греков определение расстояний было математической задачей с участием равных и подобных треугольников, параллакса и геометрии. В римских учебниках[68] в словесно сформулированной задаче от читателя требовалось найти метод определения ширины реки, когда другой берег занят врагом. «Враг» – понятие, чья полезность в математике довольно спорна, зато оно – ключевое для римской манеры мышления.

В абстрактной математике римляне не разбирались – и гордились этим. Цицерон сказал: «Греки держали геометров в высочайшем почете. Потому и более всего развили они математику. Но мы положили предел этому искусству его пользой в измерении и счете». Вероятно, о римлянах можно было бы сказать: «Римляне держали воинов в высочайшем почете. Потому более всего развили они насилие и мародерство. Но мы положили предел этому искусству его пользой в покорении мира».

Нельзя сказать, что римляне не были образованы. Были. Они даже писали на латыни всякие технические методички, но те были исковерканными работами, одолженными у греков. К примеру, главный переводчик Евклида на латынь, римский сенатор из почтенной семьи Аниций Манлий Северин Боэций[69] – своего рода редактор «Ридерз Дайджест» римских времен. Боэций разбил работы Евклида на части, создав некоторый конспект для студентов, готовящихся к тестам с вариантами ответов. На современном жаргоне можно было бы назвать этот труд «Евклид для “чайников”» или рекламировать по телевизору с подписью «ЗВОНИТЕ 1-800-ДОКАЖИ-КА», но во времена Боэция это была вполне авторитетная работа.

Боэций приводил лишь определения и теоремы и, похоже, считал аппроксимации точными результатами. И это еще цветочки. В некоторых случаях он попросту ляпал ошибки – вот где ягодки-то. За перевирание идей греков Боэция не секли, не распинали, не жгли на костре и вообще не подвергали ни одному из популярных наказаний, применявшихся к умникам в Средние века. Его падение произошло из-за увлечения политикой. В 524 году ему отрубили голову за «заговорщические связи» с Восточной Римской империей. Лучше бы портил математику.