Квантовая вселенная. Как устроено то, что мы не можем увидеть - Джефф Форшоу

На этом этапе кажется, что ввод циферблатов для описания волн – излишнее усложнение.

Конечно, если мы хотим сложить две волны воды, то все, что нужно, – сложить высоты каждой из волн, для чего никаких циферблатов не требуется. Да, для обычных водяных волн это верно, но мы не сумасшедшие и ввели циферблаты, имея на то свои основания. Очень скоро обнаружится, что гибкость, достигнутая с их помощью, совершенно необходима, когда дело дойдет до квантовых частиц.

Держа это в уме, ненадолго остановимся и попробуем сформулировать точное правило сложения циферблатов. В случае на рис. 3.3 правило должно выглядеть так, что все циферблаты «взаимно отменяются», так что ничего не остается: 12 часов отменяет 6 часов, 3 часа отменяет 9 часов и т. д. Такая совершенная взаимная нейтрализация, разумеется, отражает тот особый случай, когда волны находятся в идеальной противофазе. Попробуем найти общее правило, работающее для сложения волн любого расположения и любой формы.

На рис. 3.4 показаны еще две волны, на этот раз соединяющиеся по-другому: одна немного смещена относительно другой. Мы вновь отметили максимумы, минимумы и промежуточные точки циферблатами. Сейчас 12-часовой циферблат верхней волны соответствует трехчасовому циферблату нижней. Мы попытаемся сформулировать правило, которое позволит складывать эти циферблаты. Оно состоит в том, что нужно взять две стрелки и соединить их головкой и хвостом. После этого достраиваем треугольник, рисуя новую стрелку, которая сводит вместе две предыдущие. Пример приведен на рис. 3.5. Новая стрелка отличается по длине от двух других и указывает в другом направлении; это новый циферблат, отображающий сумму двух предыдущих.

Рис. 3.4. Две волны смещены относительно друг друга. Верхняя и средняя волны складываются, образуя нижнюю волну

Теперь можно добиться большей точности и с помощью простой тригонометрии вычислить результаты сложения любой конкретной пары циферблатов. На рис. 3.5 мы складываем 12-часовой и 3-часовой циферблаты. Допустим, длина стрелок двух первых циферблатов – 1 см (что соответствует максимальной высоте волны – 1 см). Когда мы сводим стрелки головкой к хвосту, получается прямоугольный треугольник, две стороны которого имеют длину 1 см каждая. Стрелка нового циферблата будет иметь длину третьей стороны треугольника – гипотенузы. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: h² = x² + y². Подставляем числа: h² = 1² + 1² = 2. Итак, длина новой стрелки циферблата h будет равняться квадратному корню из 2, то есть примерно 1,414 см. В каком направлении будет указывать эта новая стрелка? Для этого нужно узнать величину угла треугольника, отмеченного на рисунке буквой θ. В нашем примере, когда две стрелки одинаковой длины, одна из которых указывает на 12, а другая на 3, можно найти ответ и без всякой тригонометрии. Очевидно, что гипотенуза образует угол 45°, так что новое «время» будет находиться между 12 и 3 часами – это половина второго. Конечно, такой пример – особенный случай. Мы выбрали такие циферблаты, чтобы их стрелки располагались под прямыми углами и имели одинаковую длину, а это упрощает математику. Но очевидно, что можно вычислить длину стрелки и получающееся время при сложении любой пары циферблатов.

Рис. 3.5. Правило сложения циферблатов

Теперь вернемся вновь к рис. 3.4. Для любой точки на маршруте новой волны мы можем вычислить высоту волны, сложив циферблаты по приведенному выше правилу и задавшись вопросом, насколько стрелка нового циферблата близка к 12-часовому направлению. Когда стрелка указывает на 12, все очевидно: высота волны попросту равна длине стрелки. Точно так же, когда стрелка направлена на 6, все очевидно: волна находится на минимуме, и ее глубина равна длине стрелки. Все понятно и в том случае, когда на часах 3 или 9, потому что высота волны равна нулю, ведь стрелка часов находится под прямым углом к 12-часовому направлению. Чтобы вычислить высоту волны, которую описывает тот или иной циферблат, нужно умножить длину стрелки h на косинус угла, который эта стрелка образует с направлением на 12 часов. Например, угол, который образуют направления на 3 и на 12 часов, равен 90°, а cos 90° равен нулю, так что высота волны тоже равна нулю. Половина второго соответствует углу в 45°, а cos 45° – примерно 0,707, так что высота волны составляет 0,707 от длины стрелки (заметьте, что 0,707 – это 1 / √2!). Если ваших познаний в тригонометрии недостаточно, чтобы понять несколько последних предложений, можно смело игнорировать эти подробности. Важен принцип: зная длину стрелки часов и ее направление, вы можете вычислить высоту волны – и даже если не понимаете тригонометрию, легко справитесь, тщательно нарисовав стрелки часов и спроецировав их на 12-часовое направление с помощью чертежной линейки. (Здесь мы хотели бы уточнить, что всем читающим эту книгу студентам такой способ действий не рекомендуется: синусы и косинусы знать полезно.)

Таково правило сложения циферблатов, и оно прекрасно работает, как показывает нижняя из трех картинок на рис. 3.4, где мы систематически применяли это правило для различных точек на волнах. В этом описании водяных волн все, что имеет значение, – проекция «времени» на 12-часовое направление, связанная с единственным параметром – высотой волны.

Вот почему использование циферблатов не так уж необходимо при описании водяных волн. Взгляните на три циферблата на рис. 3.6: все они соответствуют одной и той же высоте волны и дают эквивалентные способы представления одной и той же высоты воды. Но циферблаты эти, разумеется, различны, и, как мы увидим, эти различия имеют значение, если использовать их для описания квантовых частиц, потому что в этом случае длина стрелки циферблата (или размер циферблата, что одно и то же) имеют очень важное истолкование.

.

Рис. 3.6. Три разных циферблата с одной и той же проекцией на 12-часовое направление

В некоторых местах этой книги, и особенно в этом, мы будем иметь дело с абстракциями. Чтобы не поддаться головокружительному беспорядку, нужно помнить об общей картине. Экспериментальные результаты Дэвиссона, Джермера и Томсона и сходство полученных данных с поведением водяных волн вдохновили нас на следующий анзац: частицу следует представить в виде волны, а сама волна может быть изображена в виде множества циферблатов. Мы представляем, как электрон распространяется «подобно водяной волне», но пока не дали подробного объяснения, что же происходит. Пока нам важна только сама аналогия с водяными волнами и понимание того, что электрон в любой момент может быть описан как волна, которая распространяется и интерферирует подобно водяным волнам. В следующей главе постараемся с большей точностью описать, как перемещается электрон с течением времени. Помогать нам в этом будут различные бесценные идеи, включая знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга.

Но прежде потратим немного времени на обсуждение циферблатов, с помощью которых мы представляем электронную волну. Подчеркиваем, что эти циферблаты ни в коем смысле нельзя считать реальными, а часовая стрелка не имеет никакого отношения ко времени суток. Идея использовать множество микроскопических циферблатов для описания реального физического феномена не так уж нелепа, как это может показаться. Подобные технические приемы для описания природных явлений используют многие физики, и мы уже видели, как это работает при описании водяных волн.

Еще один пример подобного абстрагирования – описание температуры в комнате, которое может быть представлено в виде числового множества. Числа не существуют как физические объекты, и это роднит их с нашими циферблатами. Множество чисел и их связь с точками в комнате – просто удобный способ представления температуры. Физики называют такую математическую структуру полем. Температурное поле – просто числовое множество, одно число для одной точки. В случае с квантовыми частицами поле обладает большей сложностью, потому что для каждой точки требуется не просто число, а целый циферблат. Такое поле обычно называется волновой функцией частицы. То, что нам для создания волновой функции требуется ряд циферблатов, хотя для температурного поля или волн воды достаточно числа, демонстрирует существенную разницу. На физическом жаргоне циферблаты появляются потому, что волновая функция – это «комплексное» поле, а температура или высота водяной волны – «действительное» поле. Но нам подобный язык не пригодится, потому что мы можем работать с циферблатами[6].