Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Иэн Стюарт

Виттен активно развивал суперсимметрию и в 1984 году написал статью, озаглавленную «Суперсимметрия и теория Морса». Теория Морса — это область топологии, названная по имени своего первоисследователя Марстона Морса, в которой устанавливается связь общей формы некоторого пространства с его пиками и долинами. Сэр Майкл Атья — вероятно, наиболее крупный из ныне здравствующих британских математиков — считает, что статья Виттена представляет собой «обязательное чтение для геометров, заинтересованных в понимании современной квантовой теории поля. Она также содержит блестящее доказательство классического неравенства Морса. Реальная цель статьи состоит в подготовке почвы для суперсимметричной квантовой теории поля в терминах бесконечномерных многообразий». В дальнейшем Виттен применил эти методы к другим актуальным вопросам на дальних рубежах топологии и алгебраической геометрии.

Должно быть понятно, что, когда я сказал, что Виттен не математик, я не имел в виду отсутствие у него математического таланта. Как раз наоборот — быть может, ни у кого на планете нет большего математического таланта. Но в случае Виттена к этому добавляется удивительная физическая интуиция.

В отличие от математиков физики редко стесняются использовать физическую интуицию, чтобы перескочить через пробел в математической логике. Математики же привыкли относиться к «мостам веры» с подозрением вне зависимости от того, сколь много имеется подтверждающих свидетельств: для математиков доказательство — это все. Виттен необычен в том отношении, что он может соотносить свою интуицию с той математикой, которая понятна математикам. Атья выражает это такими словами: «Его способность интерпретировать физические идеи в математических терминах совершенно уникальна. Снова и снова он удивляет математическое сообщество своими блестящими физическими озарениями, приводящими к новым глубоким математическим теоремам».

Но у этой интуитивной мощи есть и оборотная сторона. Многие из важнейших Виттеновых идей, выведенных из физических принципов или аналогий, появились без доказательств, а в отношении некоторых доказательства отсутствуют и по сей день. Не в том дело, что он не может дать доказательства, — может, как показывает его Филдсовская медаль, — а в том, что он может делать логические скачки, ведущие к глубокой и верной математике, словно бы не нуждаясь в доказательствах.

Главный вопрос — имеет ли изящная виттеновская математика какое-нибудь отношение к фундаментальной физике? Или же поиски красоты завели в математический тупик, где потеряна всякая связь с физической истиной? К 80-м годам двадцатого века физики объединили три из четырех взаимодействий, имеющихся в природе: электромагнитное, слабое и сильное[109]. Но Теории Великого Объединения ничего не говорят о гравитации. Сила, которую мы наиболее непосредственно ощущаем в повседневной жизни, которая буквально не дает нам витать в облаках, исключена из синтеза — конфуз?

Достаточно несложно написать комбинированную теорию, включающую гравитацию и квантовую теорию и с виду выглядящую разумно. Но при всякой попытке решить получающиеся там уравнения возникает бессмыслица. Как правило, числа, призванные выражать разумные физические величины, оказываются бесконечными. Бесконечность в физической теории указывает: что-то идет не так. Именно появление бесконечности в законе излучения подтолкнуло Планка к квантованию света.

Некоторые физики пришли к убеждению, что основной источник бесконечностей — это укоренившаяся привычка рассматривать частицы как точечные. Точка — местоположение без размера — представляет собой математическую фикцию. Квантовые частицы — вероятностным образом размазанные точки, но это не приносит полного облегчения; требуются какие-то более сильные средства. Даже в 70-х годах двадцатого века несколько первооткрывателей начали думать, что частицы можно разумным образом смоделировать как колебания очень маленьких петель — «струн». В 80-х, когда в дело вступила суперсимметрия, эти струны превратились в суперструны.

О суперструнах можно написать целую книгу, и таких книг в самом деле существует уже несколько, но мы обойдемся очень приближенным описанием, получаемым в основном путем размахивания руками. Я хочу выделить четыре свойства: способ, которым объединяются релятивистская и квантовая картины, нужда в дополнительных измерениях, интерпретация квантовых состояний как колебаний в этих дополнительных измерениях и симметрии дополнительных измерений — или, точнее, различных полей, которые в них живут.

Начнем с эйнштейновской идеи представления траектории частицы в пространстве-времени в виде кривой, которую он назвал мировой линией данной частицы. По существу, это кривая, которую частица описывает в пространстве-времени по мере своего движения. В теории относительности мировые линии — гладкие кривые, что определяется видом полевых уравнений Эйнштейна. Они не ветвятся, потому что в теории относительности будущее любой системы полностью определяется ее прошлым, даже ее настоящим.

Имеется аналогичная концепция в квантовой теории поля, называемая фейнмановскими диаграммами. Фейнмановские диаграммы описывают взаимодействие частиц в весьма схематичном пространстве-времени. Например, на рисунке слева показана фейнмановская диаграмма для электрона, испускающего фотон, который затем улавливается другим электроном. По традиции фотоны обозначаются волнистыми линиями.

Слева: фейнмановская диаграмма для взаимодействующих частиц. Справа: соответствующие мировые листы, в сечениях которых показаны струны.

Фейнмановская диаграмма несколько напоминает релятивистскую мировую линию, но у нее острые углы и она ветвится. В 70-х годах XX века в голову Йоиширо Намбу пришла мысль, что если вместо гипотезы о том, что частицы точечные, принять, что они представляют собой маленькие петли, то фейнмановские диаграммы можно превратить в гладкие поверхности — мировые листы, как показано на правой картинке. Мировой лист можно интерпретировать как мировую линию в модифицированном пространстве-времени с дополнительными размерностями, в которых живут петли.

Что здорово насчет петель — помимо того что они не точки, — так это их способность колебаться. Быть может, каждая мода колебаний соответствует квантовому состоянию. Это позволит объяснить, почему квантовые состояния всегда содержат целые кратные некоторой базисной величины — например, спина, который всегда есть целое кратное √1/2. Число волн, помещающихся на петле, должно быть целым числом. На скрипичной струне эти различные моды колебаний являются основным тоном и его высшими гармониками. Так что квантовая теория становится определенного вида музыкой, исполняемой на суперструнах вместо скрипичных струн.

Идея Намбу не взялась из ниоткуда. Она уходит своими корнями в замечательную формулу, выведенную Габриэле Венециано в 1968 году, которая показывала, что по видимости различные фейнмановские диаграммы представляют один и тот же физический процесс и что стоит только обойти этот факт вниманием, как вычисления в квантовой теории поля приведут к неправильному ответу. Намбу заметил, что, когда фейнмановские диаграммы окружаются трубками, различные диаграммы приводят к системе трубок с одной и той же топологией. Другими словами, системы трубок можно деформировать друг в друга. Так формула Венециано оказалась связана с топологическими свойствами трубок.

Струны выталкиваются из обычного пространства-времени в новое измерение.

Это в свою очередь подсказывало, что квантовые частицы, несущие свои дискретные квантовые числа типа заряда, могут быть топологическими свойствами гладкого пространства-времени. Математики уже были свидетелями того, как основные топологические свойства — такие как число дыр на поверхности — имеют тенденцию к дискретности. Вроде все сходилось. Но дьявол, как всегда, сидит в деталях, а детали оказались дьявольскими. Теория струн была первой попыткой получить детали, пребывающие в согласии с реальным миром.

Теория струн возникла вовсе не как способ построить Теорию Всего, а как некоторое предложение, высказанное для объяснения частиц, известных под собирательным названием адронов[110]. Эти частицы включают в себя большую часть[111] обычных частиц, обнаруживаемых в атомных ядрах, таких как протон и нейтрон, а также толпу более экзотических частиц. Однако в теории есть изъян: она предсказывает существование частицы с нулевой массой и спином 2, которая до тех пор (как и поныне) не наблюдалась. Кроме того, она не смогла предсказать ни одной частицы со спином 1/2, в то время как многие адроны, включая протон и нейтрон, имеют спин 1/2. Это похоже на летний прогноз погоды, который предсказывает градины в полметра диаметром, но ничего не говорит о том, будет ли тепло. Физики не впечатлились. В 1974 году, когда на арене появилась квантовая хромодинамика и не только объяснила все известные адроны, но даже успешно предсказала новый (омега-минус), судьба теории струн представлялась решенной.