Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Иэн Стюарт

Формальная математика многомерных пространств носит чисто алгебраический характер и основана на «очевидных» обобщениях того, что имеет место в пространствах более низких размерностей. Например, каждую точку на плоскости (т.е. в двумерном пространстве) можно задать двумя координатами, а каждую точку в трехмерном пространстве — тремя. Сделаем небольшой шаг вперед и определим точку в четырехмерном пространстве как список из четырех координат; и, более общим образом, определим точку в n-мерном пространстве как список из n координат. Тогда само n-мерное пространство есть просто множество всех таких точек.

Подобные алгебраические манипуляции позволяют определить в n-мерном пространстве расстояние между любыми двумя точками, угол между любыми двумя линиями и так далее. Далее дело за воображением: большинство разумных геометрических форм, имеющихся в размерности два или три, допускают непосредственные аналоги в размерности n — чтобы определить их, надо описать привычные геометрические формы, используя координатную алгебру, а потом распространить это описание на n координат.

Чтобы получить представление об n-мерном пространстве, нам надо запастись n-мерными очками. Можно позаимствовать прием английского священника и школьного учителя Эдвина Эббота Эббота, написавшего в 1884 году небольшую книжку «Флатландия». Книга рассказывает о приключениях А. Квадрата, который живет в двумерном пространстве эвклидовой плоскости. Эббот не сообщает нам, что означает первое «А»; я же уверен, что это «Альберт», по причинам, объясненным в написанном мною продолжении «Флаттерландия», и именно из этого допущения я и буду далее исходить. Альберт Квадрат — рассудительный малый — не верил во всякую чушь о третьем измерении, до тех пор пока в один судьбоносный день через его плоскую вселенную не прошла сфера, с головой окунув его в реализм, в этой голове не умещавшийся.

«Флатландия» представляла сатирический взгляд на викторианское общество — вложенный в параболу четвертого измерения, основанную на трансразмерной аналогии. Нас здесь интересует как раз аналогия, а не сатира. Успешно представив себя живущим в плоскости двумерным существом, пребывающим в блаженном неведении относительно большего 3-мерного пространства, не так сложно уже представить себя трехмерным существом, живущим в 3-мерном пространстве, блаженно неосведомленным о реальности большего 4-мерного пространства. Представим себе, что Альберт Квадрат, счастливо пребывающий в своей Флатландии, желает «визуализировать» сферу (заполненную трехмерную сферу, так что скорее даже шар). Эббот достиг этого, заставив сферу проходить сквозь плоскость Флатландии, двигаясь при этом перпендикулярно ей таким образом, чтобы Альберт видел ее сечения этой плоскостью. Сначала он видит точку, которая разрастается в ограниченный окружностью диск. Диск расширяется до тех пор, пока глазам Альберта не предстанет экватор сферы, после чего диск уменьшается в размерах, в конце концов снова превращаясь в точку и исчезая.

Сфера пересекает Флатландию.

На самом деле Альберт видит этот диск с ребра, в качестве отрезка линии с неоднородной освещенностью, однако его зрительное восприятие интерпретирует этот образ как диск, подобно тому как наше пространственное восприятие интерпретирует плоское изображение как объемное.

Применяя аналогичные рассуждения, можно «видеть» «гиперсферу» — четырехмерный аналог сферы в трехмерном пространстве — в качестве точки, которая разрастается и принимает форму сферы, расширяющейся, пока не будет пройден «экватор», а далее сжимающейся снова в точку прямо перед тем, как исчезнуть.

Гиперсфера пересекает Спейсландию.

Могло бы пространство на самом деле иметь более трех измерений? Не изысканных математических фикций, отвечающих непространственным переменным, а реальных физических размерностей? Как, собственно говоря, разместить четвертое измерение? Все ведь уже заполнено.

Если вы так думаете, то, значит, не прислушивались к Альберту Квадрату, который точно так же готов был рассуждать о плоскости. Если оставить наши доморощенные предубеждения, то представляется, что пространство могло бы в принципе быть четырехмерным, миллиономерным или сколько-угодномерным. Тем не менее все без исключения наблюдения продолжают снабжать нас информацией о том, что в нашей конкретной вселенной Господь в Своей доброте установил три измерения для пространства и одно для времени.

Или Он все же сделал по-другому? Если физика чему-то нас и учит, так это относиться к повседневным наблюдениям с опаской. Стул представляется нам твердым, но по большей части он состоит из пустого пространства. Пространство выглядит плоским, но согласно теории относительности оно искривлено. Квантовые физики думают, что на очень малых масштабах пространство представляет собой нечто вроде квантовой пены, по большей части дыр. А горячие сторонники интерпретации квантовой неопределенности в рамках «многих миров» полагают, что наша вселенная — лишь одна из бесконечного многообразия сосуществующих вселенных и что мы занимаем лишь тончайший слой обширной мультивселенной. Если уж здравый смысл может подводить нас в таких вещах, то не приведет ли он к ошибке в отношении размерности пространства или времени?

У Калуцы было простое объяснение дополнительного измерения, которое в его теории приписывалось пространству-времени. Традиционные размерности вытянуты вдоль прямых линий, достаточно длинных, чтобы их можно было наблюдать, — на самом деле длиной в миллиарды световых лет. Новое измерение, предложенное Калуцей, устроено совсем по-другому: оно скручено в маленькую окружность размером много меньше атома. Световые волны, подобно ряби на воде, могут бегать вдоль такой окружности, потому что они тоже маленькие, много меньше атома, но материя не в состоянии продвигаться в этом направлении, потому что там нет для нее места.

Это не такая уж глупая идея. Если посмотреть на водяной шланг издалека, он будет выглядеть как линия, т.е. будет казаться одномерным. Но при ближайшем рассмотрении становится ясно, что шланг в действительности трехмерен и имеет маленькие круглые сечения.

Эта скрытая структура нового измерения объясняет кое-что из того, что можно наблюдать с большого расстояния, а именно то, как шлангу удается подавать воду. Для этого сечения должны быть соответствующей формы, с полостью посередине. Теперь представим себе, что толщина шланга меньше, чем размер атома. Чтобы заметить дополнительные размерности, в этом случае потребовалось бы разглядывать шланг необычайно скрупулезно. Такой невероятно тонкий шланг не смог бы подавать воду, но достаточно маленькие объекты все же смогли бы по нему путешествовать.

С далекого расстояния (как показано сверху) шланг выглядит одномерным. При ближайшем рассмотрении (внизу) он обнаруживает два дополнительных измерения.

Таким образом, удается заметить влияние дополнительных измерений, не наблюдая при этом их самих. Это означает, что скрытые размерности пространства-времени представляют собой полностью научное предположение: их присутствие можно в принципе проверить, пусть только исследуя результат их влияния, а не непосредственно воспринимая их органами чувств. Большинство проверок в науке основаны на изучении влияния — если бы мы могли непосредственно видеть причины какого-либо явления, нам не требовались бы ни теория, ни эксперимент. Например, никто никогда не видел электромагнитного поля. То, что удается увидеть, — это искры и отклонение стрелки компаса к северу, откуда (если наблюдения выполняют ученые) делается вывод о том, что за это ответственно некоторое поле.

Теория Калуцы приобрела определенную популярность, потому что она оставалась единственной известной идеей, поддерживающей надежду на существование объединенной теории поля. В 1926 году другой математик, Оскар Клайн, усовершенствовал теорию Калуцы, предположив, что квантовая механика, возможно, в состоянии объяснить, почему пятое измерение скручивается в нечто столь маленькое. В действительности его размер должен иметь порядок величины, близкий к постоянной Планка, — должен иметь порядок «планковской длины» 10−35 метров[80].

Теория Калуцы-Клайна, как ее стали называть, привлекала физиков в течение некоторого времени. Но невозможность непосредственно убедиться в присутствии дополнительного измерения отравляла им всю радость. По определению теория Калуцы-Клайна находилась в согласии со всеми известными явлениями в гравитации и электромагнетизме[81]. Ее невозможно было отвергнуть на основе стандартных экспериментов. Но она ничего на самом деле и не добавляла — не предсказывала ничего такого, что можно было бы проверить. От той же проблемы страдают многие попытки объединить существующие законы. Все то, что в них можно проверить, уже известно, а новое проверке не подлежит. Первоначальный энтузиазм пошел на спад.