Электроника?.. Нет ничего проще! - Жан-Поль Эймишен

Любознайкин — Скажи мне, Незнайкин, чувствуешь ли ты сегодня себя в хорошей форме?

Незнайкин — Да, спасибо. Но почему ты спрашиваешь об этом? Уж не собираешься ли ты подвергнуть меня каким-нибудь ужасным испытаниям?

Л. — Для начала я научу тебя считать… по двоичной системе счисления.

Н. — А я полагал, что прошлый раз мы рассмотрели все связанные со счетом вопросы.

Л. — Тогда мы ознакомились с электронными решениями, а теперь нам предстоит заняться арифметикой.

Н. — Уф!

Л. — Не беспокойся, ты увидишь, что это очень просто Знаешь ли ты точно, что означает число 385?

Н. — Разумеется, 385 показывает, что число состоит из трех сотен, восьми десятков и пяти единиц.

Л. — Совершенно верно. Мы пользуемся десятичной системой счисления и поэтому можем сказать, что названное число представляет собой следующее выражение: трижды взятый квадрат основания (102) плюс 8 раз взятое основание в степени 1 (101), плюс пять единиц (100), т. е. 385 = 3·102 + 8· 101 + 5·100.

А теперь представь себе, что в качестве основания для счисления мы вместо 10 возьмем 2. Тогда достаточно пользоваться только двумя цифрами: 0 и 1. Как в этих условиях ты обозначишь количество, которое в десятичной системе счисления обозначается цифрой 2?

Н. — Я совсем не вижу выхода — ведь я могу пользоваться только цифрами 1 и 0.

Л. — И тем не менее это очень просто. Мы запишем это число в виде 1, после которой следует 0. В самом деле, наше число равно основанию 2 в степени 1 плюс нуль единиц. Поэтому его следует записать, как 1, после которой следует нуль.

Н. — Как же так! Ты написал 10 и говоришь, что это 2!

Л. — Я не написал 10, я написал 1 (единицу), после которой следует нуль. Теперь, когда мы отказались от десятичной арифметики и перешли на двоичную, это число уже не означает десять и читать его нужно не как десять, а как «один, нуль». А как в двоичной системе ты запишешь число, которое в десятичной системе обозначается цифрой 3?

Н. — Я несколько не уверен, но все же попробую. Раз это число представляет собой один раз взятое основание 2 в степени 1 плюс единица, то мне представляется, что его нужно записать в виде двух единиц, стоящих одна за другой.

Л. — Ты совершенно прав. А как записать число 4?

Н. — Не представляю.

Л. — И тем не менее это просто; число 4 не что иное как основание в квадрате. Поэтому это число нужно записать в виде 1, после которой следуют два нуля, чтобы показать, что оно представляет собой один раз взятое основание в квадрате, плюс нуль оснований в степени 1, плюс нуль единиц, т. е. 4 = 22 + 0·21 + 0·20.

Н. — Твоя двоичная арифметика не представляется мне выдающимся достижением. Нужно целых три цифры, чтобы написать число 4… Результат скорее стоит назвать плачевным.

Л. — He торопись с выводами, дорогой Незнайкин. Несомненно в двоичной системе счисления требуется большее, чем в привычной нам десятичной, количество цифр. В среднем для написания одного и того же числа нужно в 3 раза больше цифр. Но в двоичных числах используются лишь нули и единицы, что значительно упрощает действия с этими числами. Как ты, например, переведешь на десятичный язык написанное мною по двоичной системе число 1 101 101?[19]

Н. — Для начала я постараюсь не попасть в поставленную тобой ловушку и не скажу, что это один миллион сто одна тысяча сто один. А теперь я начну справа, полагая, что так легче справиться с поставленной задачей. Написанное число, как мы видим, содержит единицу, но оно не содержит основания, потому что его вторая справа цифра нуль; в то же время число содержит основание в квадрате, т. е. 4, и основание в кубе, потому что и третья и четвертая справа цифры — единицы. Затем можно сказать, что число не содержит основания в четвертой степени (это выражение равно 16), но содержит основание в пятой степени (т. е. 32) и основание в шестой степени (т. е. 64). Следовательно, написанное тобою число равно сумме названных чисел, а именно 64, 32, 8, 4 и 1; и на десятичном языке его следует назвать 109.

Л. — Превосходно, Незнайкин, ты прекрасно преобразовал это число. А сможешь ли ты теперь сделать сложение по правилам двоичной арифметики?

Н. — Вероятно, это довольно сложно, но я тем не менее готов попробовать.

Л. — Хорошо, вот тебе числа для сложения

Для облегчения твоей работы я над каждой колонкой расположил маленькие буковки: а обозначает единицы, b — двойки, с — четверки, d — восьмерки, е — шестнадцатки (прости мне этот неологизм, несколько напоминающий десятки), f — тридцать-двойки, g — шестьдесят-четверки и h — сто-двадцать-восьмерки. Теперь можно начинать[20].

Н. — Возьмусь за дело. Предполагаю, что здесь поступают, как в десятичной арифметике. Не так ли?

Л. — Совершенно верно, только в двоичной арифметике элементарное сложение цифр производится по другим правилам.

Н. — Так, смело вперед. В колонке единиц, обозначенной буквой а, мы имеем 1 вверху и нуль внизу. Я естественно предполагаю, что нуль плюс 1 дает 1 и записываю полученный результат под чертой. Правильно?

Л. — Очень хорошо, но сознайся, что этот случай был не очень сложным.

Н. — Охотно признаю, а теперь перейдем к обозначенной буквой b колонке двоек. Это сложение меня несколько смущает, в обоих числах здесь стоят нули.

Л. — Но это самый классический случай, он настолько прост, что проще не бывает. Какой бы арифметикой мы ни занимались, для меня нуль плюс нуль всегда дает нуль.

Н. — Очень логично, об этом следовало бы подумать. Итак, в сумме на месте двоек я записываю нуль. Переходим к четверкам, обозначенным буквой с. Здесь тоже нет ничего трудного: 1 вверху и нуль внизу дают в сумме 1, что и записываю под чертой. С восьмерками дело обстоит чуточку посложнее; вверху у нас 1 и внизу тоже 1, их сумма 2, а у меня нет цифры 2, чтобы записать полученный результат.

Л. — Действительно, у тебя нет цифры 2, но ты можешь записать число 2 в двоичной системе в виде 1, за которой следует нуль. Иначе говоря, ты оказался в таком же положении, как при сложении по правилам десятичной арифметики, когда полученный результат превышает 10. Как ты обычно поступаешь в таком случае?

Н. — В таком случае я просто-напросто записываю цифру единиц и запоминаю цифру десятков.

Л. — Хорошо, так запиши цифру единиц, т. е. нуль в колонку d, и запомни цифру двоек, в нашем случае 1, которую ты потом прибавишь к сумме, полученной в колонке е.

Н. — Продолжим; в колонке е все обходится без каких бы то ни было трудностей; нуль в одном слагаемом, нуль в другом слагаемом да запомненная 1 дают в сумме только 1. Этот результат я и вписываю под чертой в колонке е. В колонке f мы сталкиваемся с уже знакомым положением: 1 + 1 дают в сумме 2 — я записываю нуль и запоминаю 1, которую предстоит прибавить к результату, полученному в колонке g. А вот с колонкой g справиться значительно труднее, потому что там мы имеем три слагаемых и каждое из них равно 1.

Л. — Но тебе надлежит применить этот же самый принцип. Сложение трех чисел по 1 в сумме дают 3, а это число в двоичной системе счисления записывается как одна двойка и одна единица, т. е. 1, после которой следует 1. Следовательно, запишешь 1 в колонку g и запомнишь 1.

Н. — Правильно, я сам должен был до этого додуматься; перейдем же к последней нашей колонке h — здесь нет ничего кроме 1, которую я запомнил, и мне остается лишь записать ее под чертой как полученный результат. Теперь я понял, почему ты предусмотрел эту колонку и обозначил очередной буквой, хотя ни в одном из наших слагаемых в этом разряде цифр не было.

Л. — Я полагаю, что ты уже располагаешь достаточными знаниями, чтобы с помощью логических рассуждений произвести любые операции с двоичными числами. А теперь давай посмотрим, какими электронными средствами можно осуществить такие операции. Я начну с рассказа о логических элементах.

Н. — Как! Разве те схемы, о которых ты до сих пор мне рассказывал, не признавали логики?

Л. — Дорогой Незнайкин, оставь, пожалуйста, игру слов для других обстоятельств. Логическими элементами называют схемы, реализующие некоторые логические функции, описываемые алгеброй логики и тесно связанные с двоичной арифметикой. Рассматривая эти элементы, мы будем интересоваться лишь наличием или отсутствием напряжения. Отсутствие напряжения мы назовем нулем, а наличие некоторого положительного напряжения назовем 1. Иначе говоря, все, что не 1, будет нуль, а все, что не нуль, будет 1.