Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

При более близком рассмотрении удается заметить, что наша последовательность воспроизводит саму себя многими и весьма неожиданными способами. Взглянем на числа F3, F6, F9 — другими словами, на каждое третье F-число. Все они делятся на 2. А числа F4, F8, F12 — то есть каждое четвертое F-число — делятся на 3. Каждое пятое F-число делится на 5, каждое шестое F-число делится на 8, и каждое седьмое — на 13. Эти делители в точности являются F-числами из самой последовательности.

Другой впечатляющий пример получается при вычислении 1/F11, то есть 1/89. Это число равно сумме чисел

0,0

0,01

0,001

0,0002

0,00003

0,000005

0,0000008

0,00000013

0,000000021

0,0000000034

Таким образом, здесь снова высовывает голову последовательность Фибоначчи[51].

А вот другое интересное математическое свойство этого ряда. Возьмем любые три последовательных F-числа. Произведение первого на третье всегда на 1 отличается от квадрата второго числа.

Для F4, F5, F6 имеем F4 × F6 = F5 × F5 - 1 (24 = 25 - 1).

Для F5, F6, F7 имеем F5 × F7 = F6 × F6 +1 (65 = 64 + 1).

Для F18, F19, F20 : F18 × F20 = F19 × F19 - 1 (17 480 760 = 17 480 761 - 1).

Это свойство лежит в основе магического фокуса возрастом в несколько сотен лет. Фокус состоит в том, что квадрат, состоящий из 64 единичных квадратов, можно разрезать на четыре куска так, что, сложив их по-другому, мы получим прямоугольник из 65 единичных квадратов. Вот как это делается: нарисуем квадрат, составленный из 64 маленьких квадратиков. Сторона большого квадрата имеет длину 8. В последовательности Фибоначчи два F-числа, идущие перед 8, — это 5 и 3. Разделим большой квадрат на куски, используя длины 5 и 3. Куски можно сложить по-другому в прямоугольник со сторонами длиной 5 и 13, и площадь этого прямоугольника равна 65:

Разгадка фокуса состоит в том, что после изменения конфигурации куски не точно прилегают друг к другу. Хотя этого и не видно сразу невооруженным глазом, на самом деле имеется тонкий длинный зазор вдоль средней диагонали, и площадь этого зазора равна площади одного маленького квадратика.

В начале XVII столетия немецкий астроном Иоганн Кеплер писал, что «как 5 относится к 8, так же, примерно, 8 относится к 13, и как 8 относится к 13, так же, примерно, 13 относится к 21». Другими словами, он обратил внимание, что отношения последовательных F-чисел близки друг к другу. Столетие спустя шотландский математик Роберт Симсон усмотрел нечто еще более невероятное. Если взять отношения последовательных F-чисел и расположить их в последовательность

или (с точностью в три десятичных разряда)

1, 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618…

то эти числа будут все ближе и ближе подходить к числу фи — золотому сечению.

Другими словами, приближением к золотому сечению служат отношения последовательных чисел Фибоначчи, причем точность приближения возрастает с каждым новым членом последовательности.

А теперь рассмотрим некую последовательность типа последовательности Фибоначчи, начинающуюся с двух случайных чисел, но продолжающуюся в соответствии с тем же правилом сложения двух последовательных членов. Начнем, скажем, с чисел 4 и 10; следующий член тогда равен 14, а идущий за ним — 24. Далее получаем:

4, 10, 14, 24, 38, 62, 100, 162, 262, 424…

Посмотрим на отношения соседних членов:

или

2,5, 1,4, 1,714, 1,583, 1,632, 1,612, 1,620, 1,617, 1,618…

Заложенный в последовательность Фибоначчи рекуррентный алгоритм, согласно которому надо складывать два соседних члена в последовательности, чтобы получить следующий, оказывается настолько мощным, что с каких бы двух чисел мы ни начали, отношения последовательных членов всегда сходятся к числу фи. Я думаю, это совершенно потрясающий математический феномен.

Повсеместное присутствие чисел Фибоначчи в природе означает, что число фи тоже вездесуще. И это возвращает нас к дантисту-пенсионеру Эдди Левину. В начале своей профессиональной карьеры он провел немало времени, протезируя зубы, однако это не приносило ему полного удовлетворения, поскольку, как он ни старался, улыбка пациента все равно получалась какой-то кривоватой.

— Я трудился до кровавого пота, — говорил он. — Но как бы я ни старался, зубы все равно не выглядели настоящими.

Примерно тогда же Левин начал посещать занятия по математике и спиритуализму, где он и узнал о числе фи. Узнал Левин и о «Божественной пропорции» Пачоли — и немало этим воодушевился. Что, если число фи, которое согласно Пачоли выражало истинную красоту, также содержало в себе секрет божественных зубных протезов? Эта мысль осенила его в два часа ночи, и он помчался в свой кабинет.

— Остаток ночи я провел за измерением зубов, — рассказывает он мне.

Левин перелопатил множество фотографий и обнаружил, что в самой привлекательной улыбке центральный передний зуб — центральный резец — шире следующего за ним (бокового резца) на множитель, равный числу фи. Боковой резец был также шире соседнего с ним зуба (клыка), и тоже на множитель, равный фи. А клык был шире следующего за ним зуба (первый премоляр — малый коренной зуб), и также на множитель, равный фи[52]. Левин измерял не реальную ширину зубов, но видимый размер зуба на фотографии, сделанной анфас. Как бы то ни было, он полагал, что совершил историческое открытие: красота совершенной улыбки управляется числом фи!

— Я пришел в необычайное возбуждение, — вспоминает Левин.

На работе он рассказал о своих открытиях коллегам, но те отнеслись к этому как к чудачеству. Это не остановило его — он продолжал развивать свои идеи, и в 1978 году опубликовал статью с их подробным изложением в «Journal of Prosthetic Dentistry».

— И тогда люди этим заинтересовались, — говорит он. — Сейчас ни одна лекция о зубной эстетике не обходится без раздела о золотой пропорции.

Левин постоянно использовал число фи в своей работе, так что в начале 1980-х годов он попросил одного инженера сделать для него инструмент, с помощью которого можно было бы определить, находятся ли два зуба в золотой пропорции. В результате появился трехзубый калибр золотого сечения. Старый дантист сейчас продолжает продавать его своим коллегам по всему миру.

Левин рассказал мне, что его калибр стал для него больше чем просто инструментом для работы — он начал измерять и другие объекты, не только зубы, и — обнаружил число фи в структуре цветов, в распределении веток вдоль ствола дерева и листьев вдоль веток. Он брал с собой калибр, когда уезжал в отпуск, и находил число фи в пропорциях зданий. Кроме того, он видел число фи в различных частях человеческого тела: в длине фаланг пальцев и в относительном расположении носа, губ и подбородка. В конце концов он выяснил, что число фи присутствует в почерке большинства людей — как, например, в моем.

Чем больше Левин искал число фи, тем чаще он его находил.

— Я обнаружил так много совпадений, что поневоле стал задумываться, что бы все это значило. — Он открыл свой лэптоп и показал мне фотографии, на каждой из которых все три зубца калибра в точности указывали, где скрывалось золотое сечение. Там были изображения крыльев бабочки, перьев павлина, ЭКГ здорового человеческого сердца, картины Мондриана и даже автомобиль.

Построив прямоугольник таким образом, что отношение двух его сторон равно числу фи, мы получаем так называемый «золотой прямоугольник», изображенный на рисунке.

Этот прямоугольник обладает тем полезным свойством, что если мы обрежем его вертикально, так, чтобы с одной стороны получился квадрат, то оставшаяся часть также будет золотым прямоугольником. Чудесной матери чудесное дитя. Если продолжить этот процесс, появляются внуки, правнуки и т. д., до бесконечности. Теперь в самом большом квадрате нарисуем четверть окружности, поставив циркуль в правый нижний угол и проведя им дугу из одного из соседних углов в другой. Повторим то же самое во втором по величине квадрате, поставив циркуль в левый нижний угол и прочертив еще четверть окружности; затем проделаем это с последующими, все уменьшающимися квадратами. Получившаяся кривая будет приближением к логарифмической спирали.

Золотой прямоугольник и логарифмическая спираль

Настоящая логарифмическая спираль проходит через те же самые углы в тех же самых квадратах, но она закругляется более гладко, чем получившаяся у нас кривая, изображенная на рисунке, — наша кривая претерпевает небольшие скачки кривизны в тех местах, где соединяются четвертинки окружностей. В логарифмической спирали прямая линия, проведенная из центра спирали — «полюса», — пересекает саму спираль под одним и тем же углом во всех точках; по этой причине Декарт назвал логарифмическую спираль «равноугловой спиралью».