Квантовая вселенная. Как устроено то, что мы не можем увидеть - Джефф Форшоу

Земля обычно при этом не проваливается, то есть реагирует с равной, но противоположной силой (ура, наконец-то нам пригодился третий закон Ньютона). Машину приподнимает земля и опускает гравитация, и, поскольку при этом она не проваливается в землю и не воспаряет в воздух, мы понимаем, что эти две силы должны уравновешивать друг друга. Таким образом, можно считать, что сила P × 400 см² уравновешивается прижимной силой гравитации. Эта сила равна весу автомобиля, и мы знаем, как вычислить его с помощью второго закона Ньютона F = ma, где a – ускорение свободного падения на поверхности Земли, которое равно 9,81 м/с². Итак, вес составляет 1500 кг × 9,8 м/с² = 14 700 Н (ньютонов: 1 ньютон – это примерно 1 кг·м/с², что приблизительно равно весу яблока). Так как две силы равны, то

Решить это уравнение легко: P = (14 700 / 400) Н/см² = 36,75 Н/см². Давление в 36,75 H на см² – возможно, не вполне знакомый нам способ выражения давления в шинах, но его можно легко преобразовать в более привычные «бары».

Рис. 12.3. Шина немного деформируется под весом автомобиля

Один бар – это стандартное давление воздуха, которое равно 101 000 Н на м². В 1 м² 10 000 см², так что 101 000 Н на м² – это 10,1 Н на см². Таким образом, наше желаемое давление в шинах равняется 36,75 / 10,1 = 3,6 бар (или 52 фунта на квадратный дюйм – это вы можете вычислить самостоятельно). С помощью нашего уравнения можно также понять, что если давление в шинах падает на 50 % до 1,8 бар, то мы удваиваем площадь шины, находящуюся в контакте с поверхностью дороги, то есть шина немного сдувается. После этого освежающего экскурса в вычисление давления мы готовы вернуться к кубику звездной материи, который показан на рис. 12.2.

Если нижняя грань куба ближе к центру звезды, то давление на нее должно быть немного больше, чем давление на верхнюю грань. Такая разность давлений порождает действующую на куб силу, которая стремится оттолкнуть его от центра звезды («вверх» на рисунке), чего мы и хотим добиться, потому что куб в то же самое время гравитацией подталкивается к центру звезды («вниз» на рисунке). Если бы мы могли понять, как сочетать две эти силы, то улучшили бы свои представления о звезде. Но это легче сказать, чем сделать, потому что, хотя шаг 1 позволяет нам понять, каково давление электронов на куб, все еще предстоит рассчитать, насколько велико давление гравитации в противоположном направлении. Кстати, нет нужды учитывать давление на боковые грани куба, потому что они равно удалены от центра звезды, так что давление на левую сторону уравновесит давление на правую, и куб не будет двигаться ни направо, ни налево.

Чтобы выяснить, с какой силой гравитация действует на куб, мы должны вернуться к закону притяжения Ньютона, который говорит, что каждый кусочек звездной материи действует на наш кубик с силой, уменьшающейся с увеличением расстояния, то есть более далекие куски материи давят меньше, чем близкие. Кажется, тот факт, что гравитационное давление на наш куб различно для различных кусков звездной материи в зависимости от их удаленности, представляет собой сложную проблему, но мы увидим, как обойти этот момент, по крайней мере, в принципе: мы нарежем звезду на кусочки и затем вычислим силу, которую оказывает на наш куб каждый такой кусочек. К счастью, нет необходимости представлять кулинарную нарезку звезды, потому что можно использовать отличный обходной маневр. Закон Гаусса (названный в часть легендарного немецкого математика Карла Гаусса) сообщает, что: а) можно полностью игнорировать притяжение всех кусочков, находящихся дальше от центра звезды, чем наш кубик; б) общее гравитационное давление всех кусочков, находящихся ближе к центру, в точности равно давлению, которое оказывали бы эти кусочки, если бы находились ровно в центре звезды. С помощью закона Гаусса и закона притяжения Ньютона можно сделать вывод, что к кубику прикладывается сила, которая толкает его к центру звезды, и что эта сила равна

где Min – масса звезды внутри сферы, радиус которой равен расстоянию от центра до куба, Mcube – масса куба, а r – расстояние от куба до центра звезды (G – константа Ньютона). Например, если куб находится на поверхности звезды, то Min – это общая масса звезды. Для всех остальных местоположений Min будет меньше.

Мы добились определенных успехов, потому что для уравновешивания действий, оказываемых на куб (напомним, это значит, что куб не движется, а звезда не взрывается и не коллапсирует[57]), требуется, чтобы

где Pbottom и Ptop – давление электронов газа на нижней и верхней гранях куба соответственно, а А – площадь каждой стороны куба (помните, что сила, оказываемая давлением, равна давлению, умноженному на площадь). Мы отметили это уравнение цифрой (1), потому что оно очень важно и мы к нему еще вернемся.

Шаг 3: сделайте себе чаю и наслаждайтесь собой, потому что, сделав шаг 1, мы вычислили давления Pbottom и Ptop, а после шага 2 стало понятно, как именно уравновесить силы. Однако основная работа еще впереди, потому что нам нужно закончить шаг 1 и определить разницу давлений, фигурирующую в левой части уравнения (1). Это и будет нашей следующей задачей.

Представьте звезду, наполненную электронами и другими частицами. Как рассеяны эти электроны? Обратим внимание на «типичный» электрон. Мы знаем, что электроны подчиняются принципу Паули, то есть два электрона не могут находиться в одной и той же области пространства. Что это значит для того моря электронов, которое мы называем «электронами газа» в нашей звезде? Так как очевидно, что электроны отделены друг от друга, можно предположить, что каждый находится в своем миниатюрном воображаемом кубике внутри звезды. Вообще-то это не совсем верно, потому что мы знаем, что электроны делятся на два типа – «со спином вверх» и «со спином вниз», а принцип Паули запрещает только слишком близкое расположение идентичных частиц, то есть теоретически в кубике могут находиться и два электрона. Это контрастирует с ситуацией, которая возникла бы, если бы электроны не подчинялись принципу Паули. В этом случае они не сидели бы по двое внутри «виртуальных контейнеров». Они бы распространялись и пользовались гораздо большим жизненным пространством. Собственно, если бы можно было игнорировать различные способы взаимодействия электронов друг с другом и с другими частицами в звезде, их жизненному пространству не было бы предела. Мы знаем, что происходит, когда мы ограничиваем квантовую частицу: она совершает скачок в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга, и чем больше она ограничена, тем больше совершает скачков. Это значит, что, когда наш белый карлик коллапсирует, электроны все более ограничиваются и становятся все более возбужденными. Именно давление, вызванное их возбуждением, и останавливает гравитационный коллапс.

Мы можем зайти еще дальше, потому что можно применить принцип неопределенности Гейзенберга для вычисления типичного импульса электрона. Например, если мы ограничиваем электрон областью размера Δx, он будет совершать скачки с типичным импульсом p ~ h / Δx. Собственно, как мы говорили в главе 4, импульс приблизится к верхнему пределу, а типичный импульс будет равняться чему-то от нуля до этого значения; запомните эту информацию, она понадобится нам позже. Знание импульса позволяет немедленно узнать еще две вещи. Во-первых, если электроны не подчиняются принципу Паули, то они будут ограничены областью не размера Δx, а гораздо большего размера. Это, в свою очередь, означает гораздо меньшее количество колебаний, а чем меньше колебаний, тем меньше давление. Итак, очевидно, что принцип Паули входит в игру; он настолько давит на электроны, что те, в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга, демонстрируют избыточные колебания. Через некоторое время мы преобразуем идею избыточных колебаний в формулу давления, но сначала узнаем, что же будет «во-вторых». Так как импульс p = mv, то скорость колебаний тоже имеет обратную зависимость от массы, так что электроны прыгают туда-сюда гораздо быстрее, чем более тяжелые ядра, которые тоже часть звезды. Вот почему давление атомных ядер пренебрежимо мало.

Итак, как можно, зная импульс электрона, вычислить давление, которое оказывает состоящий из этих электронов газ? Для начала нужно выяснить, какого размера должны быть блоки, содержащие пары электронов. Наши маленькие блоки имеют объем (Δx)³, и, поскольку мы должны разместить все электроны внутри звезды, выразить это можно в виде числа электронов внутри звезды (N), деленного на объем звезды (V). Чтобы поместились все электроны, понадобится ровно N / 2 контейнеров, поскольку в каждом контейнере может располагаться два электрона. Это значит, что каждый контейнер будет занимать объем V, деленный на N / 2, то есть 2(V / N). Нам неоднократно понадобится величина N / V (количество электронов на единицу объема внутри звезды), так что присвоим ей собственный символ n. Теперь можно записать, каким должен быть объем контейнеров, чтобы в нем поместились все электроны звезды, то есть (Δx)³ = 2 / n. Извлечение кубического корня из правой части уравнения дает возможность вывести, что