Геометрия и "Марсельеза" - Владимир Демьянов

Декарт был прав

Великий математик, философ, физиолог, физик и лирик, неплохо владевший шпагой, Рене Декарт в заключительных строках своей книги с не оригинальным названием «Геометрия» сказал:

«И я надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с целью предоставить им удовольствие самим найти это».

Потомки высоко оценили Декарта и эти его слова. Удовольствий он им оставил очень много. Наряду с тем, что ученый опустил по доброй воле, осталось еще много недоделанного и еще больше вовсе не сделанного по причинам самого объективного свойства. После всякого ученого, а после великого в особенности, остается «фронт работ» намного больший, чем был до него. Так что потомству грех жаловаться на великих предшественников.

Сомкнул навсегда свои веки Декарт, а его знаменитая система координат, так называемый координатный метод, составлявший основу геометрии Декарта, остался незавершенным. Координаты в его системе оказались неравноправными из-за того, что он пользовался только одной осью. Не было и четкого различия

в знаках координат. А казалось бы, чего стоило старику провести еще парочку осей и поставить по концам плюсы и минусы! Однако этого он не сделал, и мы не можем быть к нему в претензии.

Сын знатного дворянина Декарт реформировал «чистую» математику, открыл связь между числом и пространственной формой, приложив алгебру к теории кривых линий. Началось быстрое развитие геометрии, и ее успехи вскоре распространились на все области, с нею смежные. Геометрия Декарта послужила необходимой предпосылкой для разработки Лейбницем и Ньютоном дифференциального исчисления — этого могучего аппарата современной математики.

Конические сечения древние геометры получали, орудуя на теле конуса с круговым основанием. Дело это нелегкое, и не зря предупреждал Эратосфен: «…не тщись конус трояко рассечь». Удивительное свойство этих трех кривых, получаемых при различных сечениях конуса (эллипс, парабола, гипербола), открыл Декарт: оказывается, все они, как и окружность, описываются сходными алгебраическими выражениями — уравнениями второй степени (их и называют кривыми второго порядка).

Декарт, разработавший область, никем, кроме Ферма, не тронутую со времен Аполлония, по праву считается создателем аналитической геометрии. Что же касается геометрии начертательной, то удовольствие самому открыть новую ветвь геометрии и честь называться создателем этой науки великий мыслитель оставил кому-нибудь из смышленых потомков.

Сын мелкого торговца Монж, произведенный в репетиторы кафедры математики в Мезьерской школе, занялся именно этим направлением. Удовольствие искать и находить он уже вкусил и потом не мог отказать себе в нем в течение всей своей большой и драматической жизни.

Нельзя сказать, чтобы Монж начал свою работу на совершенно пустом месте и что у него не было достойных предшественников и учителей. Их было предостаточно. Планы, составленные в горизонтальной проекции, известны еще по гробницам фараонов. Но это известно нам, людям двадцатого столетия. И мы знаем, что одним из первых европейцев, проникших внутрь самой большой пирамиды, был Гаспар Монж,

Только сделал он это тридцать лет спустя, когда начертательную геометрию уже давно штудировали его ученики.

Известно также, что методы горизонтального и вертикального проецирования — «ихнографию» и «ортографию» — применяли древние греки. А живший задолго до Монжа первый русский настоящий академик, член Парижской академии наук Петр Романов, русский самодержец, ввел в кораблестроение и выполнял своими собственными руками при отменном качестве чертежи кораблей в трех проекциях, то есть в трех плоскостях: «на боку», «пол у широте» и «корпусе». Царь самолично занимался этим, «понеже в Голландии нет на сие мастерство совершенства геометрическим способом…»

Чертежи Петра I изображали не внешний вид предмета, а его теоретическое построение, причем в трех современных проекциях: «бок» — фронтальная проекция, «полуширота» — горизонтальная и «корпус» — профильная. А ведь метод Монжа, каким он вошел в историю и каким мы его знаем, состоит в прямоугольном проецировании на две (только на две, а не три!) взаимно перпендикулярные плоскости — горизонтальную и вертикальную. И если еще древние греки делали то же самое, то не был ли Петр I «святее самого папы римского», то есть не зашел ли он дальше самого Монжа? В чем же заслуга французского геометра, и не преувеличиваем ли мы ее?

Нет, не преувеличиваем. Первый камень в здание начертательной геометрии как науки заложил именно Монж, решив в Мезьере задачу дефилирования местности приемами, свойственными этой науке. Здесь же, в провинциальном Мезьере, он один сложил — камень за камнем — стены, своды и перекрытия этого здания и увенчал его куполом. Это может казаться чудом, но так оно и есть. Сошлемся на высказывание специалиста, советского ученого Бориса Николаевича Делоне.

«Подобно тому, как элементарная геометрия и посейчас излагается почти, как у Евклида, или аналитическая геометрия — близко к тому, как ее изложил Декарт, начертательная геометрия рассматривается и сейчас весьма близко к тому, как ее изложил Монж».

Многое сделали в подготовке строительного материала для будущей науки предшественники Монжа (не будем втуне перечислять заслуги Альберти, Дюрера, Дезарга, рассказ о которых студенты почти не глядя перелистывают во всех учебниках начертательной геометрии), многое потом добавили ученики и последователи Монжа, среди которых немало и русских имен. Здание впоследствии достраивалось и улучшалось, в нем появлялись новые пристройки и флигели, изменялась облицовка фасада, но стены Монжева сооружения остались неприкосновенными и, видимо, сохранятся в веках подобно египетским пирамидам с той лишь разницей, что пирамиды возвеличивали усопших фараонов, а творение Монжа — науку и разум человеческий.

Так в чем же научный подвиг Монжа? Что за необычный цемент он нашел, без которого камни, нарезанные стереотомистами, так и оставались камнями, а не возвысились величественным зданием?

Идея Монжа проста, и прийти она могла до него ко многим людям. Но реализация ее была делом нелегким. Нужно было иметь не только талант Монжа, но и огромное трудолюбие, чтобы не бросить работу на полпути и довести ее до конца.

Выполнять геометрические построения в трехмерном пространстве — дело бесперспективное: нет таких циркулей и линеек, которыми можно было бы вычерчивать в воздухе дуги и прямые линии и находить точки их встречи. Не прибегать же к веревкам, уподобляясь древним геометрам Египта, которых называли «натягивателями веревок»! Нерастяжимая нить еще приемлема на плоскости, ну — в крайнем случае — ограниченном свободном пространстве. Но ведь с веревкой не влезешь в толщу камня или другого материала, куда мысль человека должна проникнуть раньше резца.

Поскольку все тела природы, рассуждал Монж, можно рассматривать как состоящие из точек, прежде всего надо найти способ определения точки в пространстве. Но ведь пространство не имеет границ: все его части совершенно подобны, и ни одна из них не может служить объектом сравнения для того, чтобы указать положение точки. Какие же элементы выбрать, с чем соотносить ее положение?.. Разумеется, с наиболее простыми и удобными.

Из всех простых элементов, которые изучает геометрия, Монж последовательно рассмотрел: точку, не имеющую никаких измерений; прямую линию, имеющую только одно измерение; плоскость, имеющую два измерения. Как ни заманчиво было взять за основу точку или прямую, Монж отказался от них и пришел к парадоксальному на первый взгляд, но верному выводу: хотя плоскость — более сложный геометрический элемент, чем первые два, именно она дает возможность определить наиболее просто положение точки в пространстве!

Итак, плоскость! Проекция точки на плоскость — в этом ключ к решению проблемы. Если из. точки опустить на плоскость перпендикуляр, то этой точке будет соответствовать одна-единственная проекция. Но если пойти обратно — от проекции… Уместно задать вопрос: будет ли ей соответствовать только одна, а именно заданная, точка пространства? К сожалению, нет.

Всем точкам, лежащим на проецирующем луче, а их бесконечное множество, будет соответствовать эта проекция. Значит, одна проекция точки еще не определяет ее положения в пространстве. Чертеж надо чем-то дополнить, чтобы сделать его обратимым. Но чем — не числовой же отметкой, указывающей расстояние от точки до ее проекции! Задачу надо решать геометрически…

Возьмем вторую плоскость, решил Монж, и опустим на нее перпендикуляр из заданной точки. Получится вторая проекция. А двух проекций вполне достаточно, чтобы определить положение точки относительно двух избранных плоскостей.