Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Иэн Стюарт

Нам известно, из чего складывалось образование Набу-Шамаша, потому что примерно из того же периода до нас дошли многочисленные записи, сделанные по-шумерски учениками школы писцов. Из этих записей совершенно ясно, что Набу-Шамашу повезло с родителями, поскольку на поступление в такие школы могли рассчитывать только сыновья богатых людей. На самом деле качество вавилонского образования было столь высоким, что знатные иностранцы отправляли туда на обучение своих сыновей.

Школа называлась Домом Табличек, что, надо полагать, служило указанием на глиняные таблички, используемые для письма и арифметики. В ней был старший учитель, к которому обращались «Мастер» или «Отец-учитель». Имелся и классный надзиратель, основной задачей которого было следить за поведением учеников; были специальные учителя по шумерскому языку и математике. У старшего учителя имелись помощники, называемые «Братья Отца», в обязанности которых входило поддержание порядка. Как и все учащиеся, Набу-Шамаш жил дома и ходил в школу каждый день — примерно 24 дня в течение месяца из 30 дней. У него было три свободных дня для отдыха, а еще три набиралось за счет религиозных праздников.

Обучение Набу-Шамаша началось с овладения шумерским языком, в особенности его письменным вариантом. В наличии были словари и сборники упражнений по грамматике, а также длинные упражнения для переписывания — официальные фразы, технические термины, имена. Затем Набу-Шамаш перешел к изучению математики, и именно эти его занятия особенно важны для нашего рассказа.

Что именно изучал Набу-Шамаш? Для всех, кроме философов, логиков и зануд-математиков, число есть последовательность цифр, написанных одна за другой. Так, год, в который я пишу эту фразу, обозначается числом 2006, представляющим собой последовательность из четырех цифр. Но, как не преминут заметить педанты, эта последовательность цифр есть вовсе не число, а только его обозначение, и, кстати, обозначение довольно замысловатое. В нашей привычной десятичной системе используются всего десять цифр — символы от 0 до 9, — но они позволяют представить любое, сколь угодно большое число. Некоторое расширение этой системы позволяет также представлять очень малые числа; точнее говоря, она позволяет представлять численные измерения с очень высоким уровнем точности. Так, согласно самым точным на данный момент измерениям, скорость света приблизительно равна 1079 252 848,8 километра в час.

Эти обозначения нам так привычны, что мы забываем, как хитро они устроены — и как трудно в них разобраться, когда мы видим их первый раз. Ключевое свойство, на котором основано все остальное, состоит вот в чем: численное значение какого-либо символа, например 8, зависит от того, где он располагается по отношению к другим символам. Символ «8» не имеет постоянного значения, не зависящего от контекста. В числе, которое выражает скорость света, цифра 8 непосредственно перед десятичной запятой действительно означает «восемь». Но другая 8 в том же числе означает «восемьсот».

Было бы исключительно неприятно иметь систему письма, в которой значение буквы зависело бы от ее местоположения в слове[3]. Представим себе, например, во что превратился бы процесс чтения, если бы две буквы «а» в слове «алфавит» имели бы полностью различные значения. Однако позиционная система для обозначения чисел настолько удобна и эффективна, что нам трудно себе представить, как можно пользоваться каким-либо другим способом.

Но не всегда дело обстояло таким образом. Нашим современным обозначениям не более 1500 лет, а в Европе их впервые ввели в употребление лишь немногим более 800 лет назад. Даже сегодня для одних и тех же десятичных цифр в различных культурах используются различные символы — достаточно взглянуть на любую египетскую денежную банкноту. Представители древних культур записывали числа множеством самых разнообразных и необычных способов. Вероятно, лучше всего нам известна римская система, в которой число 2006 имеет вид MMVI. В древней Греции то же число имело бы вид βζ.{1} Вместо наших 2, 20, 200 и 2000 римляне писали II, XX, CC и ММ, а греки — β, κ, σ и β.

Вавилоняне были самой ранней из известных нам культур, использовавших нечто родственное нашим позиционным обозначениям. Однако с одним важным отличием. В десятичной системе при каждом смещении цифры на одну позицию влево ее численное значение умножается на десять. Так, 20 есть 2, умноженное на десять, а 200 — 20, умноженное на десять. В вавилонской же системе каждое смещение влево приводило к умножению числа на шестьдесят. Так, 20 означало бы 2 умножить на 60 (120 в наших обозначениях), а 200 — 2 умножить на 60 умножить на 60 (7200 в наших обозначениях). Разумеется, они не использовали тот же символ «2»; число два они записывали, повторяя дважды тонкий вертикальный клинообразный символ, как показано на рисунке. Повторяя этот знак нужное число раз, они записывали числа от одного до девяти. Для чисел, превосходящих девять, они добавляли другой символ — повернутый клин, который обозначал число десять; повторяя этот символ соответствующее число раз, они записывали числа двадцать, тридцать, сорок и пятьдесят. Так, например, наше число 42 изображалось четырьмя повернутыми клиньями, за которыми шли два вертикальных клина.

Вавилонские числительные с основанием 60.

По причинам, о которых остается только догадываться, эта система прекращалась на 59. Вавилоняне не рисовали шесть повернутых клиньев, чтобы составить 60. Вместо этого они снова использовали вертикальный узкий клин, который ранее обозначал единицу, но теперь ему придавалось значение «один раз по шестьдесят». Два таких клина означали 120. Но они могли также обозначать и «два». Какое именно значение имелось в виду, требовалось понимать из контекста, а также из расположения символов друг относительно друга. Например, если имелось два вертикальных клина, потом пробел, а потом снова два вертикальных клина, то первая группа означала сто двадцать, а вторая — два, подобно тому как символы «2» в нашей записи 22 означают двадцать и два.

Этот метод распространялся и на значительно большие числа. Вертикальный клин мог означать 1, или 60, или 60×60 = 3600, или 60×60×60 = 216 000, и так далее. Три нижние группы на рисунке обозначают число 60×60 + 3×60 + 12, которое мы бы записали как 3792. Большая проблема здесь состоит в том, что обозначения допускают некоторые неоднозначности. Если перед вашими глазами одни только вертикальные клинья, то означают ли они 2, 60×2 или 60×60×2? Означает ли повернутый клин, за которым идут два вертикальных, 12×60 + 2, или 12×60×60 + 2, или даже 10×60×60 + 2×60? Ко времени Александра Македонского вавилоняне устранили эти неоднозначности за счет использования пары небольших диагональных клиньев для указания пустой позиции при записи числа; фактически они изобрели символ для нуля.

Почему вавилоняне использовали шестидесятиричную систему, а не привычную нам десятичную? На их выбор могло повлиять полезное свойство числа 60: у него много разных делителей. Оно нацело делится на числа 2, 3, 4, 5 и 6. Оно также делится на 10, 12, 15, 20 и 30. Это свойство оказывается довольно удобным, когда дело доходит до деления вещей, будь то зерно или земля, на нескольких людей.

Чашу весов вполне мог склонить вавилонский метод измерения времени. По-видимому, вавилонцы находили удобным делить год на 360 дней, несмотря на то что они были превосходными астрономами и знали, что число 365 выражает длину года точнее, a 3651/4 — еще точнее. Их слишком сильно завораживало арифметическое соотношение 360 = 6×60. В действительности в том, что касалось указания времени, вавилоняне забывали о правиле, что перенесение символов на одну позицию налево означает умножение на шестьдесят, а вместо этого умножали на шесть, так что выражение, которое должно было бы обозначать 3600, в действительности интерпретировалось как 360.

Привязка к числам 60 и 360 дошла до наших дней — это привычные нам 360 градусов в окружности (по одному градусу на один вавилонский день), а также 60 секунд в минуте и 60 минут в часе. Старые культурные условности обладают удивительной живучестью. Меня особенно умиляет, как в наш век потрясающей компьютерной графики создатели фильмов датируют свои произведения римскими числительными.

Все это, за исключением знака «нуль», Набу-Шамаш и должен был проходить на начальных этапах своего обучения. Ему предстояло научиться ловко и быстро наносить на сырую глину тысячи маленьких клинышков. И подобно тому, как современные школьники не без усилий осваивают переход от целых чисел к обычным и десятичным дробям, так и Набу-Шамаш должен был рано или поздно встретиться с вавилонским методом записи таких чисел, как одна вторая или одна треть, или более сложных долей единицы, жесткая необходимость в которых диктовалась реальностями астрономических наблюдений.