О границах науки - Владимир Катасонов

Но как раз от этого различения и отказывается XVII столетие. Речь идет именно о введении новой метафизики. Речь не идет о каком-то эмпирическом факте, который кто-то когда-то открыл и увидел: ведь увидеть эти бесконечно малые нельзя ни в какой микроскоп. Лейбниц, как мы уже отмечали, отлично понимает этот метафизический характер нового постулата. Еще одна цитата: в одном письме к Мальбраншу, говоря о путях промысла Божия, Лейбниц пишет: «В сущности ничто не является для Него безразличным, и ни одна тварь и ни одно действие твари не считаются у Него ничтожными, хотя в сравнении с Ним они почти ничто. Свои взаимоотношения они сохраняют и перед Ним, подобно тому как линии, которые мы рассматриваем как бесконечно малые, имеют практически важные соотношения, несмотря на то что в сравнении с обычными линиями они кажутся ничтожными. Кажется, я уже пользовался этим сравнением»[33]. Сравнение любопытно. На первый взгляд здесь ставятся в параллель отношения Бога к твари и отношение обычных линий к бесконечно малым. Хотя несколько странно, что Бог уподобляется «обычной линии»… В то же время говорится: «линии, которые мы рассматриваем как бесконечно малые». Мы рассматриваем эти линии как бесконечно малые, аналогично тому, как Бог смотрит на тварь, которая по сравнению с ним почти ничто. Наше отношение к этим постулируемым бесконечно малым линиям подобно отношению Бога к твари. То есть мы смотрим на них как бы с точки зрения Бога, с точки зрения самой Истины. Другими словами, это действительно некоторая сверхопытная метафизика…

С ней уже в XVII веке было много несогласных. Декарт так и не принял метода бесконечно малых. Известны острые инвективы Беркли против геометрических построений в бесконечно малых треугольниках и точках. С критикой использования актуальной бесконечности выступали Б. Паскаль и А. Арно[34]. И действительно, ведь если метод дифференциального исчисления держится на вышеупомянутом постулате[35], а последний есть только достаточно произвольное положение (мы не столько знаем, что так есть, сколько требуем, желаем, чтобы так было), то тогда все знание, выводимое с помощью дифференциального исчисления, становится в высшей степени условным. Так же как в истории со знаменитым пятым постулатом Евклида, когда оказалось, что его можно заменить на другие положения, и тогда получатся другие типы геометрии, так же и здесь, может быть, можно предложить постулировать другие свойства пространства, и тогда мы получим совсем иную геометрию?.. А наша, лейбницевско – лопиталевская форма геометрии есть только лишь некая частная форма, одна из возможных точек зрения на пространство и на все, в нем находящееся…

Все построения с бесконечно малыми рассматриваются Лейбницем не только в геометрии, но и в физике, в создаваемой при его существенном участии новой науке, классической механике. Здесь, между прочим, ясно выступают истинные причины той новой «метафизики геометров», о которой говорил Лейбниц. Ученый и философ отлично понимает, что введение новых законов механики требует их обоснования. Поэтому наряду с законами механики он формулирует и другие законы, более высокого логического порядка. Лейбниц называет их архитектоническими принципами. Причем последние прямо связываются философом с Божественной мудростью: «…все природные явления можно объяснить механически, если мы в достаточной мере сумеем понять их, но сами принципы механики не могут быть объяснены геометрически, так как они зависят от более высоких принципов, которые указывают на мудрость Творца порядком и совершенством своего творения»[36]. Одним из фундаментальных архитектонических принципов у Лейбница является принцип непрерывности: «Когда случаи (или то, что дано) непрерывно сближаются и наконец сливаются друг с другом, необходимо, чтобы следствия, или результаты (или то, что ожидается), претерпевали то же»[37]. Принцип непрерывности означает, что в мире нет скачков, hiatus'ов – «зияний», которые были бы необъяснимы. За принципом непрерывности стоит в конце концов логическая непрерывность, принцип достаточного основания: все происходящее должно иметь достаточную причину, что оно таково, а не иное. Иначе была бы скомпроментирована разумность творения, премудрость Бога. Лейбницевский рационализм в этом смысле есть некий сверхрационализм, основывающийся на богословских аргументах. Но поскольку он выступает как философия человеческого познания, он может оборачиваться и титаническим рационализмом, как претензией на окончательное познание всего сущего… Принцип непрерывности служит основанием для переосмысления и самого движения. «Это же правило, – пишет Лейбниц, – имеет место в физике, например, состояние покоя можно рассматривать как бесконечно малую скорость и бесконечно большую медленность. Поэтому все, что истинно в отношении медленности или скорости, должно оправдывать себя и применительно к покою, рассматриваемому с той точки зрения и, таким образом, правило покоя должно быть расценено как частный случай правила движения… Точно так же равенство может рассматриваться как бесконечно малое неравенство, и можно сколь угодно сближать неравенство с равенством»[38]. Сколь угодно малое сближение неравенства и равенства означает не только то, что равенство можно понимать как бесконечно малое неравенство, но и неравенство как бесконечную цель бесконечно малых равенств. Аналогично не только покой можно интерпретировать как бесконечно медленное движение, но и движение рассматривать как бесконечную сумму бесконечно малых движений, а бесконечно малое движение и есть, в свою очередь, покой. Другими словами, Лейбниц как бы принимает классическое построение Зеноновского парадокса «Стрела»: «движение есть бесконечная сумма состояний покоя; но покой заменяется здесь бесконечно малым движением». На языке классической механики это означает введение понятия мгновенной скорости. Понятия такого же парадоксального, как и бесконечно малое движение, то есть скорости тела, находящегося в данной точке.

4. Дискретность как научно-методологический и метафизический принцип

Лейбницевские метафизические обоснования новой математики и физики недолго занимают собственно ученых. Идеал ученого-энциклопедиста, знающего и занимающегося всем или почти всем, постепенно, по мере развития науки становится недостижимым. Заниматься опытной наукой и одновременно обсуждать философские, а тем более богословские основания этой науки становится все труднее. Наконец, с середины XIX века О. Конт вообще объявляет эти проблемы ненаучными. Кроме того, разрастающееся здание математики и ее успешное применение к естествознанию и технике как бы несли оправдание этих новых методов в самих себе. Однако наиболее глубокие и принципиальные ученые никогда не оставляли надежды получить какое-то обоснование той метафизике геометров, которая была связана с дифференциальным и интегральным исчислением.

С середины XIX века усилия сосредотачиваются на проблеме арифметизации континуума. Несмотря ни на какие успехи математики и математического естествознания, невозможно уже было скрывать, что даже в геометрии мы, строго говоря, не любой отрезок можем измерить. Ведь уже греки открыли факт несоизмеримости. Нужна была строгая концепция действительного числа. В 1870-х годах такие концепции были предложены целым рядом математиков: Ш. Мере, К. Вейерштрассом, Г. Кантором, Р. Дедекиндом. Существенно, что все их конструкции использовали актуальную бесконечность. Кантор в своих исследованиях тригонометрических рядов подходит к идее общей теории множеств. В 1870-1880-х годах у него уже созрели основные понятия этой теории: понятия мощности множества, кардинальных и ординальных чисел. Он доказывает знаменитую теорему, носящую с тех пор его имя, о несчетности множества действительных чисел, строит свою арифметику бесконечных чисел[39]. В геометрии главной проблемой для теории множеств является конструирование континуума. Кантор предлагает несколько таких конструкций, стремясь выделить в континууме то, что делает его собственно непрерывным. Встает вопрос о мощности множества точек континуума. Кантор делает предположение, что эта мощность есть следующая по величине после счетного множества («континуум-гипотеза»). Однако доказать это или опровергнуть ему не удается[40].

Однако претензии автора теории множеств идут гораздо дальше. Он не только перестраивает всю математику, ставя все на фундамент теории множеств, но мечтает аналогичным образом перестроить и все естествознание. Главным инструментом здесь должно было быть понятие n-кратно упорядоченного множества. Например, любую группу людей можно рассматривать как 3-кратно упорядоченное множество: по росту, по весу, по возрасту. В каждом из трех возможных упорядочений множество будет просто упорядоченным. В 1884 году в письме к С. Ковалевской Кантор пишет: «Существуют также типы дважды, трижды, n-кратно и даже ω-кратно etc. (причем речь идет не только о естествознании, но и об искусстве) упорядоченных множеств, благодаря которым, как кажется, на старые и новые вопросы арифметики и космологии может быть пролито много света. Все, что я называю порядковыми типами, имеет в той же степени арифметический, как и геометрический характер, последний именно в случае типов кратно упорядоченных множеств. В то время как декартовски – ньтоновско – лейбницевский метод применяется при условии ограничения феноменов природы, я уже многие годы держусь того мнения, что у нас все еще отсутствует соответствующее строго математическое вспомогательное средство, с помощью которого было бы возможно в определенной мере войти внутрь природных процессов с целью тщательного рассмотрения их не извне, а изнутри, чтобы потом дать их более точное, чем прежде, описание…»[41]. Для применения теории множеств нужно представить материю состоящей из однородных элементов. Кантор называет их вслед за Лейбницем единицами, или монадами. Однако, в отличие от Лейбница, никакой духовной жизни у этих монад не предполагается. Из этих однородных монад – элементов Кантор хочет получить физические, химические, а, возможно, и биологические свойства веществ, применяя исключительно конструкции своей теории множеств. Например, в соответствии с физикой своего времени он рассматривает два типа материи: телесную и эфирную. «С этой точки зрения в качестве первого вопроса, до которого, однако, не додумались ни Лейбниц, ни более поздние ученые, возникает такой: какие мощности соответствуют этим двум материям в отношении их элементов, когда они рассматриваются как множества телесных, соответственно, эфирных монад? В этой связи я уже давно выдвинул гипотезу, что мощность телесной материи – это та, которую я называю в своих исследованиях первой, но что, напротив, мощность эфирной материи является второй»[42]. Другими словами, мощность множества телесных монад есть, по Кантору, Х0 – мощность счетного множества, а мощность множества эфирных монад – Хр первое следующее за Х0 кардинальное число. Это предположение необходимо Кантору для реализации его чисто формального подхода к физике с помощью теории множеств. Претензии Кантора титаничны: он хочет осуществить тотальную аналитическую деструкцию всего: континуум пространства, материя, природа и человек, картины и симфонии – все должно быть рассыпано в «песок» бескачественных элементов теории множеств. И обратно, всякая качественная определенность должна быть сведена к количественной в терминах канторовской бесконечной арифметики. Полезно еще раз подчеркнуть, что канторовские элементы ничего общего с лейбницевскими монадами не имеют. Элементы теории множеств – это абстрактные сущности. Тем самым Кантор пытался сложить конкретное из абстрактного, вычислить, так сказать, все сущее на листке бумаги… Дух этой титанической задачи все время витает над страницами канторовских сочинений, однако окончательного воплощения эти замыслы так и не получили…