Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi - Джулиан Бакнелл

Рисунок. 6.1. Тестирование стандартного генератора Delphi

Как видите, данный конкретный тест свидетельствует о том, что стандартный генератор Delphi успешно прошел проверку. (под успешным прохождением теста понимается, что предложенная к тестированию последовательность случайных чисел не дает результатов, которые являются значимыми на уровне 5%.)

Окно в правой части окна программы представляет собой снимок случайных чисел, полученных на выходе генератора. Координаты точек вычисляются на основе двух случайных чисел: первого для оси х, а второго - для оси Y. После этого точки выводятся в окне, если они находятся в прямоугольнике (0.0, 0.0, 0.001, 1.0) или, другими словами, в прямоугольнике, нижний левый угол которого расположен в точке (0.0, 0.0), а верхний правый - в точке (0.001, 1.0). Чтобы распределение точек было удобнее изучать, прямоугольник растянут по оси х. Как видите, на рисунке точки случайным образом разбросаны по всему прямоугольнику. Никакой системы при этом не наблюдается.

У вас может возникнуть удивление, зачем мы так много говорим об этом окне. Посмотрите на рис. 6.2, на котором показана та же программа, но для минимального стандартного генератора случайных чисел. Как видите, и этот генератор успешно прошел все тесты, но посмотрите на распределение случайных точек. Очевидно, что генератор дает последовательность случайных чисел, которые при переносе их на график формируют определенный регулярный рисунок.

Регулярность минимального стандартного генератора не позволяет использовать его для некоторых приложений, особенно тех, которые требуют пар случайных чисел. Даже незначительной регулярности бывает достаточно для того, чтобы приложение давало неверные результаты. Кроме того, отсутствие регулярности в результатах стандартного генератора случайных чисел Delphi в двухмерной плоскости не означает, что регулярности не будет в гиперплоскостях более высокой размерности. Существуют тесты, которые проверяют случайные числа на наличие регулярности в А> мерном пространстве, но давайте не будем погружаться в изучение слишком сложных тестов, а рассмотрим методы использования двух уже известных нам генераторов для дальнейшей рандомизации их выходных данных.

Рисунок 6.2. Тестирование минимального стандартного генератора

Мы рассмотрим три метода: первый известен как комбинаторный, второй - аддитивный и третий - метод тасования.

Комбинирование генераторов

Комбинирование генераторов заключается в параллельном использовании двух (или большего количества) мультипликативных линейных конгруэнтных генераторов с различными длинами циклов. Случайные числа генерируются обоими генераторами, а затем вычисляется их разность. Если получено отрицательное число, необходимо сделать его положительным, сложив его с длиной цикла первого генератора.

Листинг 6.9. Комбинирование генераторов type

TtdCombinedPRNG = class (TtdBasePRNG) private

FSeed1 : longint;

FSeed2 : longint;

protected

procedure cpSetSeed1(aValue : longint);

procedure cpSetSeed2(aValue : longint);

public

constructor Create(aSeed1, aSeed2 : longint);

function AsDouble : double; override;

property Seed1 : longint read FSeed1 write cpSetSeed1;

property Seed2 : longint read FSeed2 write cpSetSeed2;

end;

constructor TtdCombinedPRNG.Create(aSeed1, aSeed2 begin

inherited Create;

Seed1 := aSeed1;

Seed2 := aSeed2;

end;

longint);

function TtdCombinedPRNG.AsDouble : double;

const

al = 40014;

m1 = 2147483563;

ql = 53668;

{равно m1 div al}

rl = 12211;

{равно m1 mod al}

a2 = 40692;

m2 = 2147483399;

q2 = 52774;

{равно m2 div a2}

r2 = 3791;

{равно m2 mod a2}

OneOverMl : double = 1.0 / 2147483563.0;

var k : longint;

Z : longint;

begin

{получить случайное число с помощью первого генератора}

k := FSeed1 div ql;

FSeed1 := (al * (FSeed1 - (k * ql))) - (k * rl);

if (FSeed1 <= 0) then

inc(FSeed1, m1);

{получить случайное число с помощью второго генератора}

k := FSeed2 divq2;

FSeed2 := (a2 * (FSeed2 - (k * q2))) - (k * r2);

if (FSeed2 <= 0) then

inc(FSeed2, m2);

{объединить два случайных числа}

Z := FSeed1 - FSeed2;

if (Z <= 0) then

Z := Z + m1 - 1;

Result := Z * OneOverMl;

end;

procedure TtdCombinedPRNG.cpSetSeed1(aValue : longint);

const

m1 = 2147483563;

begin

if (aValue > 0) then

FSeed1 := aValue

else

FSeed1 := GetTimeAsLong;

{убедиться, что случайное число находится в диапазоне от 1 до m-1 включительно}

if (FSeed1 > - m1-1) then

FSeed1 := FSeed1 - (m1-1) + 1;

end;

procedure TtdCombinedPRNG.cpSetSeed2(aValue : longint);

const

m2 = 2147483399;

begin

if (aValue > 0) then

FSeed2 := aValue else

FSeed2 := GetTimeAsLong;

{убедиться, что случайное число находится в диапазоне от 1 до m-1 включительно}

if (FSeed2 >=m2-1) then

FSeed2 := FSeed2 - (m2 - 1) + 1;

end;

Как видите, код метода AsDouble в листинге 6.9 содержит два мультипликативных линейных конгруэнтных генератора: первый с параметрами {а, m} = {40014,2147483563}

и второй с параметрами {а, m} = {40692, 2147483399}.

Циклы обоих генераторов отличаются, но, тем не менее, близки к 2(^31^). Для преобразования промежуточного значения типа longint в значение типа double используется генератор с более длинным циклом.

Приведенный в листинге 6.9 генератор исключает двухмерную регулярность простого мультипликативного линейного конгруэнтного генератора, в чем можно убедиться с помощью программы тестирования. Можно показать, что длина цикла полученного комбинированного генератора составляет примерно 2 * 10(^18^). (Для сравнения, длина цикла стандартного генератора Delphi примерно равна 4 * 10(^9^).) Последовательность, вычисляемая с помощью комбинированного генератора полностью, определяется двумя начальными числами - по одному для каждого внутреннего генератора, в то время как для простого мультипликативного генератора было достаточно одного числа.

Аддитивные генераторы

Второй стандартный метод получения "более случайных" чисел от простого генератора называется аддитивным.

В соответствии с этим методом, мы инициализируем массив чисел с плавающей запятой с помощью простого генератора, например, минимального стандартного генератора случайных чисел, а затем используем два индекса в массиве для генерации последовательности случайных чисел на основе следующего алгоритма. Складываем значения, на которые указывают два индекса и записываем результат в элемент, на который указывает первый индекс (если полученная сумма будет больше 1.0, перед сохранением результата мы вычитаем из суммы значение 1.0). Возвращаем полученное значение в качестве следующего случайного числа. Перемещаем оба индекса вперед на одну позицию, при необходимости переходя от конца массива к его началу. Далее процесс повторяется снова.

Листинг 6.10. Аддитивный генератор

type

TtdAdditiveGenerator = class (TtdBasePRNG) private

FInx1 : integer;

FInx2 : integer;

FPRNG : TtdMinStandardPRNG;

FTable : array [0..54] of double;

protected

procedure agSetSeed(aValue : longint);

procedure agInitTable;

public

constructor Create(aSeed : longint);

destructor Destroy; override

function AsDouble : double; override

property Seed : longint write agSetSeed;

end;

constructor TtdAdditiveGenerator.Create(aSeed : longint);

begin

inherited Create;

FPRNG := TtdMinStandardPRNG.Create(aSeed);

agInitTable;

FInx1 := 54;

FInx2 := 23;

end;

destructor TtdAdditiveGenerator.Destroy;

begin

FPRNG.Free

inherited Destroy;

end;

procedure TtdAdditiveGenerator.agSetSeed(aValue : longint);

begin

FPRNG.Seed := aValue;

agInitTable;

end;

procedure TtdAdditiveGenerator.agInitTable;

var

i : integer;

begin

for i := 54 downto 0 do

FTable[i] := FPRNG.AsDouble;

end;

function TtdAdditiveGenerator.AsDouble : double;

begin

Result := FTable[FInx1] + FTable[FInx2];

if (Result >= 1.0) then

Result := Result - 1.0;

FTable[FInx1] := Result;

inc(FInx1);

if (FInx1 >= 55) then

FInx1 := 0;

inc(FInx2);

if (FInx2 >= 55) then

FInx2 := 0;

end;

Если внимательно изучить код, показанный в листинге 6.10, можно обратить внимание, что для формирования массива, используемого при работе аддитивного генератора, применяется минимальный стандартный генератор случайных чисел. Несмотря на то что мы не можем определить "начальное число" для аддитивного генератора (фактически по истечении некоторого времени начальное число эквивалентно всему массиву;

внутренний генератор псевдослучайных чисел вызывается только 55 раз), мы можем его установить. При установке начального значения вызывается внутренний генератор, который заполняет массив, предназначенный для инициализации аддитивного генератора.

Длина массива, 55, и значения индексов, 54 и 23, - это не просто взятые наугад значения. Было показано, что они дают хорошие последовательности случайных чисел при генерации целых значений. (В книге [11] можно найти таблицы других удачных значений длины массива и индексов.)

Самым хорошим свойством данного генератора является длина цикла. Она просто огромна (при реализации на основе значений типа longint длина цикла будет составлять 230(255- 1), или приблизительно 3 * 1025). Даже если бы вы генерировали каждую секунду триллион случайных чисел, то для того, чтобы пройти весь цикл, потребовались бы годы.

Тасующие генераторы

И последний тип рассматриваемых нами генераторов, позволяющих получать "более случайные" числа, принадлежит к алгоритмам тасования. Здесь мы опишем генератор, реализованный на основе одного внутреннего генератора, хотя существуют и другие генераторы, аналогичным образом использующие два внутренних генератора.