По следам сенсаций - Лев Бобров

Вот и получается, что у геометрического целого (линии) может появиться совершенно новое качество, отсутствовавшее у его частей — непротяженных, не имеющих размеров точек, когда мощность множества переходит определённый количественный Рубикон. Вспомните линию, составленную из одних рациональных точек! Это множество всюду плотно. Если мы прибегаем к чертежу, то нам и впрямь придётся рисовать сплошную линию — иначе не изобразишь множество всех рациональных точек. Но нет, эта линия разрывна. И разрывна в каждой точке! Лишь континуум обладает непрерывностью, сплошностью. Этого, разумеется, не дано было знать Зенону, для которого все точки-нули, равно как и все бесконечности, выглядели «на одно лицо».

И всё же, даже разобравшись в этих премудростях, математики XX века не смогли окончательно отделаться от кошмара зеноновских противоречий, Канторова теория множеств, которая, как считалось, обезвредила апории Зенона, сама оказалась подорванной изнутри таившимися в ней противоречиями.

У английского писателя Лоуренса Стерна есть роман «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена». Это весьма своеобычный роман. Повествование ведётся от первого лица, причём герою понадобилось целых двести пятьдесят страниц, чтобы описать своё появление на свет. Лишь в третьей книге мать Шенди разрешается от бремени Тристрамом, джентльменом, а в шестой маленький джентльмен впервые удостаивается чести быть облачённым в штаны.

О странном литературном персонаже вспоминает не кто иной, как Бертран Рассел. Предположим, говорит английский учёный, какой-нибудь новоявленный Тристрам Шенди будет затрачивать по году на описание каждого дня своей жизни. Сумеет ли он накропать мемуары?

Не сумеет, это ясно: человек смертен. А если бы Тристрам Шенди стал вдруг бессмертным? Что тогда? Тогда каждый день найдёт своё отражение в его необычной летописи. Другое дело — странное жизнеописание никогда не закончится. Но каждому дню найдётся соответствующий год, причём количество дней и количество годов в их нескончаемой череде равны, вернее, равномощны. Это бесконечности одного класса. Точно так же последовательность всех чётных чисел равномощна натуральному ряду, включающему и чётные и нечётные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. А натуральный ряд равномощен множеству всех рациональных чисел.

Как видно, правило «целое не равно своей части» утрачивает силу в странном мире бесконечного. А вот и другой вывод, ещё пуще насмехающийся над немощью человеческой интуиции.

Мы уже выяснили: континуум (совокупность всех без исключения точек отрезка) обладает гораздо большей мощностью, нежели редко стоящие на числовой оси метки натурального ряда или даже множество всех рациональных точек, плотное везде. Тем не менее совершенно неожиданным и поистине ошеломляющим выглядит такой Канторов итог: один ли ангстрем, один ли световой год содержат одинаковое «количество» (речь идёт о бесконечном множестве) точек. Уму непостижимо, но бесконечная прямая вмещает не больше точек, чем конечный отрезок! И ещё один сюрприз: трёхмерная фигура (скажем, куб) не богаче точками, чем двумерная (квадрат), а двумерная поверхность — чем просто линия. Целых три года (с 1871 по 1874) Кантор пытался доказать, что взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно. Мучительные поиски долго оставались безуспешными. И вдруг совершенно неожиданно для себя учёный пришёл к совершенно противоположному результату! Он проделал то самое построение, которое считал неосуществимым. Потрясённый своим открытием, он написал математику Дедекинду: «Я вижу это, но не верю этому». А вскоре убедился, что не только квадрат, но и куб равномощен линии…

Этого не знал Зенон. Ньютон тоже. Но это со всей непреложностью доказал Георг Кантор — человек, впервые отважившийся объять необъятное, сосчитать неисчислимое, измерить неизмеримое. Он проник с числом и мерой в таинственный и странный мир, над входом в который красуется кабалистический символ бесконечности — oo, и который исстари вселял в души человеческие мистический хоррор инфинити — ужас перед бесконечным.

Беспрецедентное арифметическое беззаконие потрясло математиков. Но это было ещё только началом. Теория множеств Кантора оказалась чреватой куда более серьёзными парадоксами.

На рубеже XIX и XX столетий выяснилось, что логические рассуждения, которыми оперировал Кантор, ведут к неразрешимым противоречиям. Первый нокаут канторовские построения получили от итальянского учёного Бурали-Форти, сформулировавшего парадокс наибольшего порядкового числа. Однако настоящей сенсацией оказалась знаменитая антиномия Рассела, опубликованная в 1903 году и получившая широкую известность под названием «парадокса брадобрея».

Солдату приказали стать полковым цирюльником. Приказ строжайше предписывал брить тех и только тех, кто не бреется сам. За невыполнение — смертная казнь. Солдат исправно нёс нехитрую службу парикмахера ровно один день. На следующее утро, проведя ладонью по подбородку, он взялся за лезвие и кисточку, чтобы придать своим щекам былой глянец, но… вовремя спохватился. Начни он скоблить собственную щетину, быть ему в числе тех, кто бреется сам. И тогда он в соответствии с грозным распоряжением начальства не должен себя брить. Если же он откажется себя брить, то станет одним из тех, кто сам не бреется и кого как раз он-то и обязан брить! Как же поступить бедняге брадобрею?!

Разумеется, перед нами шутливое иносказание настоящего парадокса. На самом деле формулировка его более строга.

Существуют множества, которые могут содержать сами себя в качестве элемента. Назовём их необыкновенными. Вчитайтесь, к примеру, в такое определение: «Множество А включает в себя все множества, которые можно определить предложением, содержащим меньше двадцати слов». Только что приведённая фраза содержит всего 15 слов. Значит, само множество А тоже является элементом множества А! Разумеется, перед нами курьёзное исключение. Большинство совокупностей обыкновении — не содержат себя в качестве элемента. Давайте пока ограничимся только такими пай-множествами, которые вроде бы не сулят никакого подвоха. И рассмотрим множество всех обыкновенных множеств. Обозначим его буквой М. Предлагается ответить: само М — обыкновенное или необыкновенное? Бесспорно, оно должно быть либо тем, либо другим — третьего не дано. Допустим, что М — обыкновенное множество. Тогда оно должно содержать себя в качестве, элемента: ведь М, по определению, множество всех до единого обыкновенных множеств. — Но если оно включает самое себя, значит, перед нами необыкновенное множество! Ладно, пусть будет таковым. Стоп… Что же получилось: необыкновенное М входит в множество всех обыкновенных множеств? Но ведь мы же договорились вообще не иметь дела с необыкновенными множествами! М, по определению, не имеет права входить в множество всех и одних только обыкновенных множеств! А уж если оно угодило туда, пусть изволит стать обыкновенным. Остаётся одно: объявить множество М обыкновенным и… начать сызнова «сказку про белого бычка». Как видно, в отличие от своего севильского коллеги из бессмертной трилогии Бомарше Фигаро лорда Рассела занялся интригами на более высоком уровне — в области логики и математики.

Парадоксы теории множеств заставили математику ревизовать свои логические устои.

Как известно, ахиллесовой пятой канторовской теории множеств был её неконструктивный характер. Кантору ставили в упрёк, что он прибегал к доказательству от противного. Он обосновывал истинность фундаментальнейших выводов своей теории не прямо, а косвенно — демонстрируя абсурдность противоположного утверждения. До поры до времени это казалось убедительным. В самом деле, если одно из двух взаимоисключающих предложений ложно, то другое обязательно должно быть истинным. По крайней мере так гласил закон исключённого третьего. Приём редукцио ад абсурдум (приведение к нелепости) широко практиковался в математике со времён Евклида. Но ведь у Рассела в его парадоксе с брадобреем та же логическая процедура, проверенная тысячелетиями, дала осечку! Так почему же, спрашивается, она не могла подвести и Кантора? Неужто и впрямь… «движенья нет»? Во всяком случае, в логике опровергателей Зенона, апеллировавших к построениям Кантора…

Но, быть может, противоречия были порождены чересчур вольной трактовкой понятия «множество»? А если более строго сформулировать требования к смыслу каждого термина, к каждой логической процедуре? И даже попытаться, если удастся, построить «конструктивную» логику, где не будет закона исключённого третьего и доказательств от противного?

Теорема Гёделя легла в основу целого направления в математике и логике. Сама математическая теория, непротиворечивость которой пытаются обосновать, стала предметом изучения особой «надматематической» науки, названной метаматематикой, или теорией доказательств. Какова природа истины? На каких посылках зиждется сам фундамент математики? Какой смысл имеют математические предложения: аксиомы, леммы, теоремы? Какую логическую структуру должны иметь доказательства? Так попытки разрешить парадоксы столкнулись с более широкой проблемой обоснования математики и логики.