Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Иэн Стюарт

Наиболее важная встреча, однако, состоялась в Берлине — с Феликсом Клейном, который, так случилось, учился ранее у Плюккера, которым Ли глубоко восхищался и которому стремился подражать. У Ли и Клейна было очень схожее математическое образование, но совершенно разные вкусы. Клейн, по существу, алгебраист с геометрическим уклоном, обожал работать над специальными проблемами, обладающими внутренней красотой; Ли же был аналитиком, которому импонировал широкий охват общих теорий. По иронии судьбы именно общие теории Ли дали математике некоторые из наиболее важных специальных структур, которые и были, и до сих пор остался изумительно красивыми, необычайно глубокими и по большей части алгебраическими. Открытие этих структур могло бы вообще не состояться, если бы не стремление Ли к общности. Если вы пытаетесь понять все возможные математические объекты некоторого типа и если вам это удалось, то вы неизбежно найдете среди них много объектов с необычными свойствами.

В 1870 году Ли и Клейн снова встретились в Париже. Именно там Жордан обратил Ли в дело теории групп. В то время росло осознание, что геометрия и теория групп выражают две стороны одной медали, но законченное оформление этих мыслей требовало времени. Ли и Клейн написали несколько совместных работ, пытаясь сделать связь между группами и геометрией более явной. В конце концов мысли Клейна кристаллизовались в его «эрлангенской программе» 1872 года, согласно которой геометрия и теория групп тождественны друг другу.

На современном языке эта идея звучит столь просто, что, казалось бы, она должна была всегда представляться совершенно очевидной. Группа, отвечающая любой заданной геометрии, — это группа симметрий данной геометрии. Наоборот, геометрия, соответствующая какой-либо группе, доставляется любым объектом, группой симметрии которого является данная группа. Другими словами, геометрия определяется тем, что остается инвариантным под действием группы.

Например, симметрии эвклидовой геометрии — это те преобразования плоскости, которые сохраняют длины, углы, линии и окружности. Они составляют группу всех движений плоскости без деформаций. Наоборот, что-нибудь, инвариантное относительно таких движений, естественно попадает в сферу действия эвклидовой геометрии. Неэвклидовы геометрии просто используют иные группы преобразований.

Зачем же тогда трудиться, чтобы конвертировать геометрию в теорию групп? Дело в том, что это дает два разных способа думать о геометрии, а также два разных способа думать о группах. Иногда вещи легче понять одним способом, иногда другим. Две точки зрения лучше одной.

Отношения между Францией и Пруссией быстро ухудшались. Император Наполеон III рассчитывал поддержать свою падающую популярность, начав войну с Пруссией. Бисмарк отправил французам телеграмму провокационного содержания, и 19 июля 1870 года была объявлена Франко-Прусская война. Клейн — пруссак в Париже — счел за лучшее вернуться в Берлин.

Однако Ли был норвежцем и очень ценил свое пребывание в Париже, поэтому решил там остаться. Потом, правда, осознав, что Франция проигрывает войну и немецкая армия движется на Метц, он передумал: хотя он и был гражданином нейтральной страны, оставаться в потенциальной зоне боевых действий было небезопасно.

Ли решил отправиться в путешествие пешком и направил свои стопы в Италию. Ушел он, однако, недалеко; французские власти схватили его у Фонтенбло, примерно в 25 милях к юго-востоку от Парижа; при нем находилось некоторое количество документов, испещренных нечитабельными символами. Поскольку они, очевидно, представляли собой шифр и было совершенно ясно, что Ли шпионил в пользу немцев, его поместили под арест. Потребовалось вмешательство ведущего французского математика Гастона Дарбу, чтобы убедить власти в математическом содержании записок. Ли был отпущен из тюрьмы, французская армия сдалась, немцы начали осаду Парижа, а Ли снова отправился в Италию — на этот раз успешно. Оттуда он вернулся в Норвегию. По пути он случайно повстречался с Клейном, отсиживавшимся в Берлине.

В 1872 году Ли защитил диссертацию. Норвежская академическая среда была настолько потрясена его работами, что университет Христиании в том же году специально для него создал новую должность. Со своим бывшим учителем Людвигом Силовом они взялись за издание собрания сочинений Абеля. В 1874 году Ли женился на Анне Бирх; всего у них было трое детей.

Теперь Ли сосредоточился на конкретной задаче, представлявшейся ему заслуживающей внимания. В математике имеется много видов уравнений, но особенно важны два. Первый — это алгебраические уравнения типа тех, что так эффективно изучали Абель и Галуа. Второй вид — это дифференциальные уравнения, введенные Ньютоном в его работе о законах природы. Такие уравнения включают в себя концепции из анализа и оперируют не самими физическими величинами, а тем, как эти величины изменяются с течением времени. Более точно — они задают скорость изменения величин. Например, наиболее важный закон движения Ньютона гласит, что ускорение тела пропорционально полной силе, действующей на него. Ускорение есть скорость изменения скорости. Вместо того чтобы непосредственно сообщить нам, какова скорость тела, закон говорит, какова скорость изменения скорости. Аналогичным образом другое уравнение, выведенное Ньютоном для объяснения того, как изменяется температура тела при остывании, говорит, что скорость изменения температуры пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды.

Наиболее важные уравнения в физике — те, что имеют дело с потоками жидкости, действием гравитации, движением планет, переносом тепла, распространением волн, действием магнетизма, распространением света и звука — это дифференциальные уравнения. Как впервые понял Ньютон, закономерности природы, как правило, принимают более простой вид и их легче сформулировать, если смотреть на скорости изменения величин, а не на сами интересующие нас величины[44].

Ли задал себе фундаментальный вопрос. Имеется ли для дифференциальных уравнений теория, аналогичная теории Галуа для алгебраических уравнений? Есть ли способ установить, когда дифференциальное уравнение можно решить заданными методами?

Ключевую роль здесь снова сыграла симметрия. Ли осознал, что некоторые из его результатов по геометрии можно было реинтерпретировать в терминах дифференциальных уравнений. К заданному решению конкретного дифференциального уравнения Ли мог применить преобразование (из конкретной группы) и доказать, что результат также является решением. Из одного решения получается много, причем все они связаны группой. Другими словами, группа состоит из симметрий данного дифференциального уравнения.

Здесь содержался прозрачный намек, что нечто прекрасное ожидало своего открытия. Вспомним о применениях симметрий, которые Галуа реализовал для алгебраических уравнений! А теперь представим себе нечто подобное для куда более важного класса дифференциальных уравнений!

Все группы, которые изучал Галуа, были конечными. Это значит, что число преобразований из группы — некоторое целое число[45]. Группа всех перестановок на пяти корнях уравнения пятой степени, например, содержит 120 элементов. Однако многие разумные группы бесконечны, и среди них — группы симметрий дифференциальных уравнений.

Одна распространенная бесконечная группа представляет собой группу симметрии окружности; она содержит преобразования, которые поворачивают окружность на любой — какой угодно — угол. Поскольку имеется бесконечно много возможных углов, группа вращений окружности бесконечна. Обозначение для этой группы — SO(2). Здесь O означает «ортогональный» — это указывает, что преобразования являются движениями плоскости без деформаций, a S означает «специальный» и указывает на вращения, которые не переворачивают плоскость.

Окружности имеют, кроме того, бесконечно много осей отражательной симметрии. Если отразить окружность относительно любого диаметра, то получится та же самая окружность. Добавление отражений приводит к большей группе O(2).

Окружность обладает бесконечным числом вращательных симметрий (слева) и бесконечным числом отражательных симметрий (справа).

Группы SO(2) и O(2) бесконечны, но это некоторый ручной вид бесконечности. Различные вращения можно задавать, указывая одно число — угол вращения. Когда два вращения выполняются одно за другим, соответствующие углы просто складываются. Ли назвал поведение такого типа «непрерывным», и в его терминологии SO(2) — непрерывная группа. А из-за того, что для указания угла требуется только одно число, группа SO(2) одномерна. То же имеет место и для O(2), поэтому все, что нам требуется, — это некоторый способ отличать отражения от вращений, а с этой задачей в алгебре справляются знаки плюс и минус.