Научная революция XVII века - Владимир Кирсанов

3

Ошибки механики пизанского периода определялись среди прочего тем, что Галилей не считал падение ускоренным движением и не рассматривал явление ускорения. Но первые годы XVII столетия застают его в Падуе над разработкой именно этих проблем, связанных с ускорением падающего тела. В письме к Паоло Сарпи, относящемся к 1604 г., содержится уже правильный закон падения, выражающий зависимость пути, пройденного падающим телом, от квадрата времени падения. Правда, в этом же письме Галилей указывает, что вывод, сделанный им, основывается на предпосылке, что скорость пропорциональна пройденному пути, что, как мы знаем сегодня, является неправильным. Письмо к Сарпи вместе с тем фактом, что формулировка закона появилась лишь спустя почти 30 лет в «Диалоге», вызвало у исследователей творчества Галилея недоумение, которое пытались прояснить с помощью разных гипотез.

Некоторые историки полагали, что Галилей пришел к закону падения, используя приемы теоретиков Парижской и Оксфордской школ. Действительно, средневековые авторы имели в своем арсенале мертонское правило, которое, как мы помним, можно интерпретировать таким образом, что равноускоренное движение эквивалентно равномерному движению со средней скоростью (при этом равноускоренное движение мыслится начинающимся из состояния покоя, а эквивалентность понимается как равенство путей, пройденных за одинаковое время). Мертонское правило означает тот факт, что в рассматриваемом равноускоренном движении в первую половину времени движения проходится четверть всего пути, т. е. отношение путей, пройденных в первую и вторую половину времени, равно 1:3. Такое соотношение было доказано Оремом, который затем продолжил его до 1, 3, 5, 7, ... и т. д. для равных времен. Все это дало основание Эдварду Гранту утверждать:

«Геометрическое доказательство Орема теоремы о средней скорости и многочисленные ее арифметические доказательства были широко распространены в Европе в течение XIV и XV столетий и были особенно популярны в Италии. Весьма вероятно, что благодаря печатным текстам конца XV и начала XVI вв. они стали хорошо знакомы Галилею. Он сделал теорему о средней скорости первым предложением Третьего Дня в своих „Беседах о двух новых науках", где она служит фундаментом новой науки о движении» [14, с. 246].

Однако оксфордские и парижские теоретики пришли к мертонскому правилу, исходя из представления, что равноускоренное движение является таким движением, в котором скорость получает равные приращения в равные промежутки времени. С другой стороны, как следует из письма к Сарпи, Галилей ошибочно полагал, что скорость пропорциональна пути, а не времени. Поэтому совершенно справедливо замечает Дрейк: «Если предположить, что средневековые авторы были источником работы Галилея, то как объяснить, что он принял и разработал их ранние результаты, в то же самое время отвергая самую основу, из которой они были получены. Точно так же, если он позднее познакомился с сочинениями средневековых авторов, то почему он так и не использовал мертонское правило для доказательства своего предложения ни в своих заметках, ни в своей книге?» [15, с. 85]. Более того, как указывалось ранее, Орем никогда не связывал равноускоренное движение со свободным падением, и ни один средневековый автор не утверждал, что пройденные отрезки пропорциональны квадратам времен, что легко выводимо из прогрессии Орема: 1, 3, 5, 7,...

Другой гипотезой относительно реконструкции создания закона падения Галилеем является предположение, что он пришел к нему чисто математическим путем аналогично тому, как это впоследствии сделал Гюйгенс. Действительно, если принять, что в равноускоренном движении скорость увеличивается в равные промежутки времени на равные величины, то такое правило должно сохраняться для любых равных промежутков времени. А это означает, что в числовой последовательности, которая отображает величину пройденных отрезков пути, отношение первого члена ко второму должно быть таким же, как отношение суммы первых двух членов к сумме следующих двух членов или же как отношение суммы первых трех членов к сумме следующих трех членов и т. д. Другими словами, задача сводится к отысканию такой арифметической прогрессии, для которой отношение предыдущего члена к последующему равняется отношению суммы любого числа предыдущих членов к сумме такого же числа последующих членов. Единственной последовательностью целых чисел, удовлетворяющей этому замечательному свойству, является последовательность 1, 3, 5, 7,...

Наконец, Галилей мог прийти к своему закону чисто случайно в процессе опытов с движением шарика по наклонной плоскости, которые, согласно его книге, он многократно производил.

В действительности, как следует из находки Стиллмана Дрейка, ни одно из этих предположений не оказалось верным: обнаруженный им в Национальной библиотеке Флоренции документ (обозначенный как f 152 тома 72 галилеевских рукописей) свидетельствует, что Галилей при выводе своего закона не ссылался и не использовал ни мертонское правило, ни рассуждения арифметического толка [15, с. 85—92].

В найденном документе, который датируется не позднее октября 1604 г. и представляет лист с заметками Галилея, рассматривается задача об ускоренном движении, в котором величина скорости по прошествии выбранного промежутка времени увеличивается на единицу. В соответствии со средневековым представлением об ускоренном движении Галилей вначале полагает, что нарастание скорости идет не непрерывно, а скачками и по прошествии одной мили скорость возрастает на один градус. Он записывает условие: «4 мили с 10 градусами скорости за 4 часа».

Это означает, что первая миля проходится с одним градусом скорости, вторая — с двумя, третья — с тремя и четвертая — с четырьмя градусами скорости. Отсюда необычная для нас запись характеристики скорости: 1+2+3+4=10 градусов, которая в зависимости от условий задачи может соответствовать различным ускорениям и не представляет собой в нашем сегодняшнем понимании значения скорости по прошествии 4 миль. Время, указанное в условии (4 часа), выбирается им произвольно.

Затем Галилей как бы ставит вопрос: за какое время будет пройдена дистанция в 9 миль с 15 градусами скорости? Сперва он пытается решить задачу с помощью обычных числовых пропорций, но это ему не удается, и тогда он выбирает совершенно иной подход к решению проблемы. Он рисует чертеж, иллюстрирующий процесс падения. Точки А, В и С представляют расстояния, пройденные по вертикальной прямой при падении из состояния покоя, причем АВ предполагается равным 4, а АС — 9. Эти два числа, выбранные Галилеем произвольно, представляют собой квадраты, и не удивительно, что в попытках сопоставить двум числам, каждое из которых является квадратом, третье Галилею приходит на ум число, которое является средним пропорциональным в соответствующей пропорции. В данном случае средним пропорциональным будет 6 (4:6 = 6:9, тогда 62 = 4x9 и 6 = √(4x9). Если крайние члены пропорции есть квадраты, тогда среднее пропорциональное выразится целым числом. Этот факт, по-видимому, и имел в виду Галилей, когда числам 4 и 9 он поставил в соответствие число 6). И он помещает точку D между В и С так, что AD равно 6. Ему кажется, что такой выбор может решить проблему и 9 миль с 15 градусами скорости будут пройдены за 6 часов.

В данном случае выбор двух квадратов в качестве чисел условия можно считать счастливым совпадением, но следует отметить, что это было в обычае древних и средневековых математиков — практически все задачи решались с помощью числовых примеров, и очень часто в качестве значений выбирались первые числа натурального ряда или их квадраты. Как бы то ни было, Галилею удалось получить правильную зависимость пути от времени для равноускоренного движения: у него получалось, что скорости относятся как 10:15, т. е. как 2:3, в таком же отношении находятся и времена, отсчитываемые с начала падения, — 4:6 = 2:3, откуда следует, что пути относятся как 4:9 = 22:32, т. е. как квадраты времен.

Дрейк приводит по поводу этого результата Галилея слова Джойса: гений не совершает ошибок, его ошибки являются вратами в открытие. И действительно, результат Галилея парадоксален: исходя из того что скорость пропорциональна пути (предположения явно ошибочного), он приходит к заключению (совершенно истинному), что путь пропорционален квадрату времени! Парадокс объясняется замечанием самого Галилея, что вначале он не видел разницы в том, пропорциональна ли скорость пути или скорости, потому что к началу XVII в. еще не было в точности известно, как должна измеряться скорость, и Галилей делал по этому поводу разные предположения. Так, в рассматриваемом документе он оперирует с величиной, которую называет по-латыни gradus velocitatis (то, что мы сегодня обозначили бы через у), а в письме к Сарпи он использует итальянский термин velocita, предполагая, что это v2 в нашем сегодняшнем обозначении.