Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Иэн Стюарт

Гамильтону повезло больше, чем Абелю или Галуа, в том отношении, что на его необычные способности обратили внимание в раннем детстве. Поэтому вполне естественно, что в 1823 году он поступил в ведущий ирландский университет — дублинский Тринити Колледж. Равным образом неудивительно, что он шел первым в списке из сотни кандидатов. Во время учебы в Тринити он получил все возможные награды. И, что еще важнее, он закончил первый том своего основополагающего труда по оптике.

Весной 1825 года Гамильтон открыл для себя притяжение прекрасного пола, представшего перед ним в лице Кэтрин Дизни. Наверное, он поступил не слишком мудро, ограничив свои знаки внимания написанием стихов, потому что его потенциальная возлюбленная недолго думая вышла замуж за священника старше ее на пятнадцать лет, который был способен на несколько менее литературный подход к порядочным девицам. Сердце Гамильтона было разбито; несмотря на свою твердую приверженность религиозным заповедям, он подумывал о том, чтобы утопиться, то есть совершить смертный грех. Однако здравомыслие одержало верх, и он излил свою разочарованную душу еще в одной поэме.

Гамильтон любил поэзию, и круг его друзей включал самых видных литераторов. Уильям Вордсворт стал его близким другом; он также часто встречался с Сэмюелем Тейлором Колриджем и другими писателями и поэтами. Вордсворт оказал Гамильтону ценнейшую услугу, деликатно намекнув ему, что его таланты лежат не в сфере поэзии:

Вы засыпали меня градом ваших стихов, которые я прочитал с великим удовольствием… Однако же нас не оставляет опасение, что подобная стезя может отвратить вас от научного пути… Я не решаюсь вам советовать, но не найдет ли поэтическая часть вашей натуры более благодарного для себя поля в области прозы…

Гамильтон ответил в том смысле, что его истинной поэзией была математика, и мудро переключился на научное поприще. в 1827 году, еще в бытность его студентом, Гамильтона единогласно избрали профессором астрономии в Тринити после того, как занимавший эту должность Джон Бринкли подал в отставку, а точнее, стал епископом Клойна. Гамильтон начал сразу с громкого успеха, опубликовав свою книгу по оптике — предмету, важному для астрономии, поскольку оптика лежит в основании устройства большинства астрономических инструментов.

Связь с механикой там присутствовала лишь в зачаточной форме. Основной фокус книги, если можно так выразиться, заключался в геометрии световых лучей — как они изменяют направление при отражении в зеркале или как преломляются в линзе. «Геометрическая оптика» позднее уступила место «волновой оптике», в которой свет рассматривается как волны. Волны обладают целым набором дополнительных свойств, самое заметное из которых — дифракция. Интерференция волн может приводить к размытию краев изображения и даже к эффекту, который выглядит как огибание светом угла (фокус, невозможный для лучей).

Геометрия световых лучей не была новым предметом; ее интенсивно изучали математики и до этого, начиная с Ферма и даже с греческого философа Аристотеля. Гамильтон сделал в оптике нечто подобное прославленному достижению Лежандра в механике: он избавился от геометрии и заменил ее алгеброй и анализом. А именно — заменил основанные на рисунках чисто геометрические рассуждения на абстрактные вычисления.

Это было существенным шагом вперед, поскольку неточные картинки, тем самым, заменялись строгим анализом. Позднее математики предприняли энергичные усилия, чтобы пройти путь, намеченный Гамильтоном, в обратном направлении и снова ввести в обиход наглядные образы. Но формальный алгебраический подход стал к тому моменту неотъемлемой частью математического мышления и мог оставаться естественным спутником более наглядных аргументов. Колесо моды сделало полный оборот, но на более высоком уровне, подобно спиральной лестнице.

Великим вкладом Гамильтона в оптику было объединение. Все огромное многообразие известных результатов он свел к одному фундаментальному методу. Вместо системы световых лучей он ввел одну-единственную величину, «характеристическую функцию» системы. С ее помощью любая оптическая конфигурация представлялась одним уравнением. Более того, это уравнение можно было решить единообразным способом, что давало полное описание всей системы лучей и ее поведения. Метод Гамильтона основывался на одном фундаментальном принципе: световые лучи, проходящие через любую систему зеркал, призм и линз, выбирают путь, распространение по которому до цели занимает наименьшее время.

Ферма еще ранее обнаружил некоторые специальные случаи этого принципа, назвав его принципом наименьшего времени. Простейший пример, позволяющий объяснить его работу, — это отражение света от плоского зеркала. Левый рисунок показывает, как световой луч, выходя из одной точки и отражаясь от зеркала, достигает второй точки. Одним из великих открытии на заре оптики был закон отражения, который гласит, что две части светового луча составляют с зеркалом равные углы[37].

Как принцип наименьшего времени приводит к закону отражения.

Ферма придумал изящный прием: отразить в зеркале второй участок луча, а заодно и вторую точку, как показано на правом рисунке. Благодаря Эвклиду условие «равных углов» — это то же самое, что утверждение, что в этой «отраженной» картине путь от первой точки до второй является прямой линией. Но Эвклид доказал тот знаменитый факт, что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Поскольку скорость света в воздухе постоянна, кратчайшее расстояние означает то же самое, что наименьшее время.

Возвращаясь к геометрии на левом рисунке, мы видим, что выполнено то же самое утверждение. Таким образом, условие равных углов логически эквивалентно тому факту, что световой луч выбирает путь с наименьшим временем распространения из первой точки во вторую при условии, что по дороге надо отразиться от зеркала.

Связанный с этим принцип — закон преломления Снеллиуса — говорит о том, как «ломается» луч при переходе из воздуха в воду и вообще из одной среды в другую. Этот закон можно вывести подобным же образом, если учесть, что свет распространяется в воде медленнее, чем в воздухе. Гамильтон пошел еще дальше, утверждая, что тот же принцип минимизации времени применим ко всем оптическим системам, и воплотив эту мысль в едином математическом объекте — характеристической функции.

Использованная здесь математика впечатляла, но в руках Гамильтона она привела к немедленной экспериментальной отдаче. Гамильтон заметил, что из его метода следовало существование «конического преломления», когда один луч света при попадании на подходящий кристалл выходит из него в виде целого конуса лучей. В 1832 году это предсказание, неожиданное для всех кто работал в оптике, получило прочное экспериментальное подтверждение, когда Хэмфри Ллойд использовал кристалл арагонита. На следующее утро Гамильтон проснулся знаменитым.

К 1830 году Гамильтон озаботился тем, чтобы обзавестись семьей; он подумывал жениться на Элен де Вер, умом которой как он говорил Вордсворту, он восхищался. Ей он тоже писал письма в стихах и был готов уже сделать предложение, когда она заявила ему, что никогда не уедет из своей родной деревни Карра[38]. Он воспринял это как тактичный отказ — весьма вероятно, что обоснованно, поскольку через год она вышла за кого-то замуж и все же уехала.

В конце концов он женился на Элен Бейли — местной девушке, жившей неподалеку от обсерватории. Гамильтон описывал ее как «далеко не блестящую». Медовый месяц был ужасен: Гамильтон занимался оптикой, а Элен болела. В 1834 году у них родился сын Уильям Эдвин. Затем Элен уехала на большую часть года. Второй сын Арчибальд Хенри появился на свет в 1835-м, но брак уже трещал по швам.

В глазах потомства величайшим открытием Гамильтона была сформулированная им оптико-механическая аналогия. Но сам он до самой смерти — причем с все возрастающим упорством — отдавал пальму первенства вещи совершенного другого сорта — кватернионам.

Кватернионы представляют собой некоторую алгебраическую структуру, находящуюся в близком родстве с комплексными числами. Гамильтон был убежден, что они содержат в себе ключ к глубочайшим областям физики, а на склоне жизни убедил себя, что в них содержится ключ буквально ко всему. История, похоже, не согласилась с этой оценкой, и в течение следующего столетия кватернионы медленно тускнели, пропадая из поля общественного интереса, превратившись в тихую заводь абстрактной алгебры без серьезных применений.

Совсем недавно, однако, кватернионы пережили возрождение. И даже если они никогда не займут того положения, которое прочил им Гамильтон, их чем дальше, тем больше рассматривают как значимый источник важных математических структур. Кватернионы оказались очень специальным явлением — как раз настолько специальным, насколько этого требуют современные физические теории.