Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко

бесконечно, но интеграл не сходится и о каком-то конкретном значении говорить нельзя. Именно в невозможности вычислить среднее для длительности меандров отражается свойство самоподобия случайного блуждания, или отсутствие собственного масштаба времени.

Мы моделировали приспосабливаемость к житейским неурядицам с помощью релаксации — затухания эмоциональных всплесков. Можно истолковать этот процесс иначе — как приспосабливаемость человека к жизненным обстоятельствам. При обработке зашумленных сигналов или последовательностей часто для сглаживания и выделения полезного сигнала используют метод скользящего среднего, рассматривая в каждый момент не сам сигнал, а усредненное его значение за некоторый промежуток времени. Так удается избавиться от шума и получить представление о долговременных тенденциях сигнала. Применяя такое усреднение к житейским неурядицам, мы можем моделировать приспосабливаемость человека. Люди влюбляются и находят повод для радости даже во время войн, а жизнь богатых бездельников не безоблачна. Смещается локальное представление о норме (привычном состоянии дел), от которой настроение отклоняется в ту или иную сторону. Рассматривая разницу между последовательностью эмоций и сглаженной линией фона, мы получим такую же картину полос, какую дала предыдущая модель, с теми же статистическими характеристиками. Это неудивительно, ведь концептуально они практически не различаются, описывая систему с релаксацией (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Меандрирование и смену настроений можно получить, моделируя скользящим средним приспосабливаемость человека к обстоятельствам

Какие выводы можно сделать из нашего несерьезного исследования? Череда светлых и темных полос в жизни не иллюзия, они существуют на самом деле. Но в них нет особенных закономерностей. Чаще всего они коротки, но бывают и затяжными. Все зависит от легкости характера и способности отпускать прошлое. Более того, если события будут происходить редко, то жизнь станет серой чередой исчезающих в прошлом воспоминаний. Так что в наших интересах запоминать прожитое и в наших силах сделать так, чтобы жизнь не становилась случайным блужданием. Мы можем добиться того, чтобы хороших событий становилось больше и происходили они почаще, пусть даже они окажутся и незначительными.

Лыжная прогулка, искренняя улыбка прохожего, билет на концерт, чашка горячего шоколада в холодный день — все это поможет создать положительный тренд и продлит светлую полосу в жизни. Правда, неизбежные грустные события обязательно сменят настроение. Но не надо винить в этом свое счастье. Это не расплата за него и не сглаз. Это свойство релаксирующих систем — склонность к колебаниям при стохастическом внешнем воздействии.

О марковских цепях и пессимистах с оптимистами

В рассмотренных моделях мы получали пуассоновский поток смены настроений, генерируя события с помощью его же. В этом можно усмотреть подтасовку: пуассоновский случайный процесс оказался изначально «вшит» в модель. Насколько при этом универсален результат? Можно ли получить его как-нибудь совсем иначе?

Житейский опыт — штука плохо формализуемая, его можно подогнать под различные математические инструменты, внося не только упрощающие допущения, но и спекуляции. В науке такой подход недопустим, но в путешествии по методам теории случайных процессов мы можем позволить себе поиграть с ними, чтобы познакомиться получше.

Выше для объяснения полос в жизни мы учитывали память, то есть вклад предыдущих состояний в текущее. Но можно получить характерное «полосатое» поведение и полностью исключив влияние прошлого.

Для этого полезны объекты, называемые цепями Маркова.

Последовательность дискретных случайных величин x1,x2,… называется цепью Маркова, если распределение величины xn+1 зависит только от распределения величины xn, но не от предыдущих величин x1,…xn. Иными словами, будущее зависит от настоящего, но не от прошлого. Область значений наших величин xn называется пространством состояний цепи. Переходы между состояниями определяются числами pij — вероятностями перейти из состояния с номером i в состояние с номером j. Мы ограничимся случаем, когда эти вероятности не зависят от номера n (тогда цепь Маркова называется однородной). Числа pij образуют так называемую матрицу переходов, о которой мы поговорим позже.

Такие цепи удобно представлять в виде взвешенных графов[25]. Вершинами графа оказываются состояния цепи, а ребрами — возможные переходы между ними. Например, однородная марковская цепь, описывающая динамику настроения, может быть представлена в следующем виде. Пусть для простоты у человека есть всего два состояния (радостное и печальное) и он каждый день может оказаться либо в одном, либо в другом. При этом вероятность остаться на следующий день в прежнем состоянии равна 0,75, а вероятность поменять его — 0,25 (рис. 6.11).

Рис. 6.11. Цепь Маркова с двумя состояниями («радостное» и «печальное»). Стрелки обозначают переходы и их вероятности. В нашем симметричном случае вероятность остаться в существующем настроении превышает вероятность его смены, но не зависит от самого настроения. Переходы случаются раз в день

Почему мы выбрали такие вероятности? Наблюдая за динамикой настроения и мировосприятия, можно заметить, что человеку свойственно «залипать» в определенном состоянии духа. Если дела идут в целом хорошо, то и дурная новость может быть воспринята с оптимизмом. И напротив, меланхолическое настроение, однажды поглотив человека, способно испортить даже радостное известие. С математической точки зрения это значит, что вероятность остаться в текущем настроении выше вероятности его изменить.

Наша цепь способна генерировать последовательности состояний, и, конечно, в ней появятся полосы житейской зебры. Самое интересное — выяснить, какому распределению будут подчиняться длительности этих полос. Для нашей более чем простой модели можно получить точный ответ — это геометрическое распределение, описывающее вероятность наблюдать заданное количество испытаний до первого «успеха».

Геометрическое распределение — дискретный аналог экспоненциального в том смысле, что ему подчиняются округленные значения экспоненциально распределенной случайной величины. Существует связь между параметром геометрического распределения и интенсивностью соответствующего экспоненциального. Так мы опять получаем пуассоновский поток смен настроения, и для описанной нами марковской цепи его интенсивность равна λ = —ln(0,75) ≈ 2/7 (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Гистограмма для длительностей периодов одинакового настроения в последовательности ежедневных смен состояний, сгенерированной симметричной цепью Маркова, и функция вероятности геометрического распределения с параметром, равным вероятности перехода между состояниями. Последовательность имеет длительность в 10 лет

Если мы нарушим симметрию цепи, то сможем описать «оптимиста» либо «пессимиста», охотнее «залипающего»