Истина и красота. Всемирная история симметрии. - Иэн Стюарт

Руффини и Абель излагали ход своей мысли на формальном математическом языке своего времени, который не очень хорошо подходил для требовавшегося им стиля мышления. Математика имела тогда дело главным образом с конкретными, частными идеями, тогда как ключ к теории уравнений состоит в переводе рассуждений в более общие термины — те, которые относятся к структурам и процессам, а не к отдельным вещам. Таким образом, их идеи были сложны для современников по той причине, что выходили за рамки математического языка. Но даже для современных математиков использование терминологии того периода затруднило бы понимание.

К счастью, основные моменты их анализа можно ухватить, используя архитектурную метафору. Один из способов представить себе почти-доказательство Руффини, как и полное доказательство Абеля, состоит в том, чтобы представить себе строительство башни.

В этой башне по одной комнате на этаже, причем лестница связывает ее с комнатой этажом выше. В каждой комнате имеется большой мешок. Если открыть мешок, оттуда разлетаются миллионы алгебраических формул, заполняя весь этаж. На первый взгляд у этих формул нет никакой специальной структуры, и кажется, что их случайным образом понадергали из разных алгебраических текстов. Некоторые формулы короткие, некоторые длинные; некоторые простые, некоторые исключительно сложные. При более тщательном рассмотрении, однако, у них обнаруживаются родственные черты. Формулы в каждом мешке имеют массу общих свойств. У формул из мешка этажом выше другие общие свойства. Чем выше по башне мы поднимаемся, тем более сложными становятся формулы в мешках.

Мешок на первом этаже содержит все формулы, которые можно построить, взяв коэффициенты уравнения и складывая их друг с другом, вычитая, умножая, деля — снова и снова, сколько угодно раз. В мире алгебраических формул, коль скоро вы задались коэффициентами, все эти «безобидные» комбинации прилагаются, можно сказать, практически бесплатно.

Чтобы забраться по лестнице на этаж выше, надо взять какую-нибудь формулу из мешка и использовать ее для построения радикала. Это может быть квадратный корень, кубический корень, корень пятой степени — какой угодно. Но формулу, корень которой берется, необходимо вынимать из того мешка. Всегда оказывается возможным взять корень p-й степени, где p — простое число, потому что более сложные корни можно построить из простых, и это простое наблюдение оказывается на удивление полезным.

Итак, вы выбрали какой-то корень; теперь, поднявшись на второй этаж, вы находите второй мешок, содержимое которого исходно совпадает с содержимым мешка на первом этаже. Но вы открываете мешок и швыряете в него новый радикал.

Формулы размножаются. Когда Ной причалил свой ковчег к горе Арарат, он повелел всем созданиям плодиться и размножаться. Формулы в мешке делают даже нечто большее: они не только множатся, но и складываются, вычитаются и делятся. Через несколько секунд лихорадочной активности из мешка на втором этаже начинают вылезать всевозможные «безобидные» комбинации, построенные из коэффициентов уравнения и нашего нового радикала. По сравнению с мешком на первом этаже здесь имеется много новых формул — но все они похожи друг на друга, поскольку каждая включает в качестве новой компоненты наш радикал.

Будем действовать точно так же, чтобы подняться на третий этаж. Снова выбираем некоторую формулу из нового мешка — строго одну — и строим новый радикал, извлекая корень некоторой (простой) степени из этой формулы. Тащим новый радикал по лестнице на третий этаж, засовываем его в мешок и ждем, пока формулы исполнят свои брачные игры.

И так далее. Каждый новый этаж означает новый радикал, и в новом мешке появляются новые формулы. На каждом шаге все эти формулы строятся из коэффициентов, к которым добавлен какой-либо радикал из числа тех, что были построены ранее.

Наконец мы на верхнем этаже башни. Миссия выполнена, исходное уравнение решено в радикалах — при условии, что, ощупав мешок на чердаке, мы найдем там по крайней мере один из корней нашего уравнения.

Подобных башен может быть много, в зависимости от выбираемых на каждом шаге формул и радикалов. Большинство обманывают наши ожидания и там не найти и намека на искомый корень. Но если миссия выполнима, если некоторая формула, построенная из последовательных радикалов, дает решение, то на чердаке в соответствующей башне действительно найдется корень. Ибо формула в точности говорит нам, как получить этот корень, последовательно добавляя радикалы. Другими словами, она сообщает нам, как именно построить башню.

В терминах таких башен можно интерпретировать классические решения уравнений третьей и четвертой степеней и даже вавилонское решение квадратных уравнений. Начнем с кубического уравнения, поскольку оно уже достаточно сложно, чтобы быть репрезентативным, но еще достаточно просто, чтобы оставаться наглядным.

В башне Кардано только три этажа.

Мешок на первом этаже содержит коэффициенты и все их комбинации.

Лестница, ведущая на второй этаж, требует извлечения квадратного корня. Весьма конкретного квадратного корня из вполне определенной формулы из первого мешка. Мешок на втором этаже содержит все комбинации этого квадратного корня и коэффициентов.

Лестница на третий этаж — на чердак — требует кубического корня, причем снова вполне конкретного. Это кубический корень из определенной формулы, включающей коэффициенты и тот квадратный корень, который уже использовался, чтобы подняться на один этаж. Содержит ли мешок на чердаке какой-либо корень нашего кубического уравнения? Да, и доказательство состоит в формуле Кардано. Подъем на башню увенчался успехом.

Башня Феррари выше — в ней пять этажей.

На первом этаже, как всегда, в мешке содержатся просто комбинации, составленные из коэффициентов. Подъем на второй этаж осуществляется с помощью образования безобидных комбинаций и последующего извлечения подходящего квадратного корня. На третий этаж ведут взятие безобидных комбинаций и, далее, извлечение подходящего кубического корня. На четвертый — составление безобидных комбинаций и, далее, извлечение подходящего квадратного корня.

Решение квадрики, кубики и квартики.

Наконец мы добираемся до пятого этажа — чердака, — составляя безобидные комбинации и беря затем подходящий квадратный корень.

И вот — мешок на чердаке действительно содержит то, что мы искали, — некий корень уравнения четвертой степени. Формула Феррари снабжает нас инструкциями по построению именно нужной башни.

Вавилонская башня, которая решает уравнение второй степени, также подходит под эту метафору. Но она оказывается укороченной башней всего с двумя этажами. Мешок на первом этаже содержит просто комбинации коэффициентов. Единственный, тщательно выбранный квадратный корень ведет на один этаж выше — уже на чердак. Внутри этого мешка имеется корень квадратного уравнения — в действительности оба его корня. Об этом нам говорит вавилонская процедура решения квадратных уравнений — формула, которой нас учили в школе.

А что же насчет уравнения пятой степени?

Предположим, что формула для решения квинтики в радикалах на самом деле существует. Мы не знаем, как она выглядит, но тем не менее можем многое о ней сказать. В частности, она должна соответствовать некоторой башне. Назовем эту гипотетическую башню башней Абеля.

Зададимся вопросом, как забраться вверх по башне; математика говорит нам, что имеется только один способ подняться на второй этаж. Надо взять один определенный квадратный корень, другого пути наверх нет.

Впрочем, не совсем так. Мы могли бы брать всевозможные другие корни и построить огромную, высоченную башню. Но чтобы на чердаке такой башни находился корень, необходимо, чтобы некоторый этаж соответствовал тому самому определенному квадратному корню, который я имею в виду. И ни один из предыдущих этажей не поможет нам добраться до чердака; строительство будет лишь пустой тратой времени и денег. Так что любой вменяемый строитель обязательно начнет именно с этого квадратного корня.

Что требуется, чтобы подняться по лестнице на третий этаж?

На третий этаж лестницы нет. Можно забраться на второй этаж, но там мы и застрянем. И если нельзя подняться на третий этаж нашей воображаемой башни, то заведомо нельзя добраться до чердака и найти там в мешке корень.

Почему уравнение пятой степени неразрешимо.

Одним словом, башни Абеля не существует. Все попытки прекращаются, когда мы упираемся в бетонный потолок на втором этаже; или, возможно, имеется некоторая более сложно организованная структура с множеством никому не нужных этажей, где мы в конце концов упираемся в бетон точно таким же образом и по той же самой причине. Это и доказал Руффини, если не считать одного технического пробела. Грубо говоря, он не сумел доказать, что если на чердаке живут безобидные комбинации радикалов, то и сами радикалы живут там же.