Управление рисками рыночных систем (математическое моделирование) - Владимир Живетин

В качестве основных интегральных характеристик невыполнения цели, т. е. макрорыночного риска, будем рассматривать вероятности событий (S21, S22), (S31, S32), (S41, S42), (S51, S52):

Р2 = Р(S21 S22) = Р21(S21) + Р22(S22),

Р3 = Р(S31 S32) = Р31(S31) + Р32(S32),

Р4 = Р(S41 S42) = Р41(S41) + Р42(S 42),

Р5 = Р(S51 S52) = Р51(S51) + Р52(S52).

В дальнейшем из рассмотрения можно исключить ситуации, когда система контроля нам указывает на критическую ситуацию, но мы не имеем в своем распоряжении управления, способного возвратить в область безопасных состояний.

Система контроля, для которой события S51 или S52 теоретически осуществимы, порождает случайные величины или процессы, когда хф находится в области (хф < ), а измеренное значение хизм – в области (хизм > ) (рис. 1.30), или наоборот.

Рис. 1.30

Если учитывать физическую нереализуемость такого контроля, то события S51 и S52 невозможны, в силу того, что их вероятность пренебрежимо мала.

На примере вероятностей Р2, Р3, которые наиболее важны при оценке рыночного риска макроэкономики, рассмотрим построение математической модели, позволяющей получить численную оценку вероятностей Р2 и Р3. Для вероятностей Р1, Р4, Р5 все выводы аналогичны.

Вероятностные показатели риска

В качестве основных интегральных характеристик невыполнения цели будем рассматривать величины вероятностей событий (Аα ∩ Вγ), (Вα ∩ Аγ), а также (Аα ∩ Сγ), (Сα ∩ Аj):

P(S21) + P(S22) = P(Aα ∩ Cγ) + P(Aα ∩ Bγ);

P(S31 S32) = P(S31) + P(S32) = P(Aγ ∩ Cα) + P(Bα ∩ Aγ).

Вероятность Р2 характеризует появление ложной информации, поэтому назовем ее вероятностью ложной оценки состояния, а Р(В'γ | Аα) = Р′2 – условной вероятностью ложной оценки состояния, где В'γ = (Вγ Сγ).

Вероятность Р3 характеризует такое состояние, при котором превышение х значения хкр не фиксируется в процессе контроля или оценки параметра х. Эту вероятность назовем вероятностью опасной ситуации, а Р(В'α | Аγ) = Р'3 – условной вероятностью опасной ситуации, где В'α = Вα Cα. Вероятности Р2 и Р3 отличаются от Р′2, Р'3 на Р(Аα) и Р(Аγ), которые не зависят от характеристик средств оценки или контроля и поэтому при анализе и синтезе системы контроля могут не рассматриваться. Однако это отличие необходимо учитывать при назначении допустимых значений Р2, Р3, Р′2, Р'3. При этом Р2 и Р3 отличаются от Р'2, Р'3 на постоянные множители.

Запишем вероятности Р2 и Р3 в явном виде и выразим их через xн, xв, , и плотности распределения вероятностей α и γ. Вероятность

P2 = P[(Aα ∩ Bγ)] + P[Cγ ∩ Aα] =

= P[{(xн ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ ) ( ≤ α ≤ xв)} ∩

∩ {(γ < ) (γ > )}].

Воспользуемся дистрибутивными свойствами символов и ∩. Обозначим

A (xн ≤ α ≤ ); B ( ≤ α ≤ ); С ( ≤ α ≤ xв);

D (γ < ); K (γ > xв).

Тогда для Р2 имеем:

(A B C) ∩ (D K) =

= [(A В) ∩ (D K)] [C ∩ (D ∩ K)] =                                      (1.3)

= {[A ∩ (D K)] (B ∩ (D K))} [(C ∩ D) (C ∩ K)] =

= (A ∩ D) (A ∩ K) (B ∩ D) (B ∩ K) (C ∩ D) (C ∩ K).

Рассмотрим каждое из пересечений отдельно:

G1 : A ∩ D = (xн ≤ α ≤ ) ∩ (γ < ) = (xн ≤ α ≤ ) ∩ (β < – α).

Так как случайные величины α и β – независимые, то область их значений можно найти так. Обозначая реализацию α через x, а реализацию β – через y, получим ситуацию, изображенную на рис. 1.32 в виде области G1. Аналогично рис. 1.32–1.36:

G2 : A ∩ K = (xн ≤ α ≤ ) ∩ (γ > ) = (xн ≤ α ≤ ) ∩ (β > – α).

G3 : B ∩ D = ( ≤ α ≤ ) ∩ (γ < ) = ( ≤ α ≤ ) ∩ (β < – α).

G4 : B ∩ K = ( ≤ α ≤ ) ∩ (γ > ) = ( ≤ α ≤ ) ∩ (β > – α).

G5 : C ∩ D = ( ≤ α ≤ ) ∩ (γ < ) = ( ≤ α ≤ xв) ∩ (β < – α).

G6 : C ∩ K = ( ≤ α ≤ ) ∩ (γ > ) = ( ≤ α ≤ xв) ∩ (β > – α).

Рис. 1.31                                          Рис. 1.32

Рис. 1.33                                           Рис. 1.34

Рис. 1.35                                                 Рис. 1.36

Используя (1.3) и независимость α и β, получим

P2 = P[Aα ∩ B'γ] = P(A ∩ D) + P(A ∩ K) + P(B ∩ D) +

+ P(B ∩ K) + P(C ∩ D) + P(C ∩ K) = Р12 + Р22,

где

P12 = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) + P(C ∩ D) = P(G1) + P(G3) + P(G5);