Хаос. Создание новой науки - Джеймс Глейк

«Если бы можно было найти решение дифференциального уравнения, — говорил Йорк, — в нем обязательно отсутствовала бы хаотичность, поскольку для решения нам необходимы некие инварианты — постоянные параметры, столь же неизменные, как угловой момент. Обнаружив их в достаточном количестве, можно решить уравнение. Но тем самым мы исключим хаос».

Методы решения, описываемые в справочниках, на самом деле работают. Тем не менее, сталкиваясь с нелинейной системой, ученые вынуждены или заменять ее линейной аппроксимацией, или искать иной нетрадиционный подход. Студенты весьма редко находят в справочниках нелинейные системы, которые допускают использование указанных приемов и не обнаруживают «сильной зависимости от начальных условий». Нелинейные системы, в которых на самом деле таится хаос, редко объясняются и редко изучаются. Их всегда считали отклонениями и старались не принимать во внимание, руководствуясь уже сложившейся практикой. И лишь немногие помнят, что на самом деле отклонением являются поддающиеся решению упорядоченные линейные системы! Таким образом, лишь немногие осознают, насколько природа нелинейна по своей сути. Энрико Ферми однажды воскликнул: «В Библии вовсе не сказано, что все законы природы можно объяснить с помощью линейных построений!» Математик Станислав Улам заметил, что именовать исследование хаоса «нелинейной наукой» все равно что назвать зоологию «изучением всех животных, кроме слонов».

Йорк это понял. «Во-первых, беспорядок существует. Физики и математики стремятся обнаружить некую упорядоченность. „Какой прок в хаосе?“ — говорят они. Однако ученые должны знать хаос, потому что неизбежно столкнутся с ним. Грош цена автомеханику, не имеющему представления о жировом загрязнении клапанов!» Йорк полагал, что ученые, так же как и люди, далекие от науки, могут запросто впасть в заблуждение, если они не подготовлены к восприятию сложного. Почему инвесторы настаивают на существовании цикличности в колебаниях цен на драгоценные металлы? Да потому, что периодичность — наиболее сложное упорядоченное поведение, которое они могут себе представить. Глядя на биржевые сводки, они ищут в скачках курса некий порядок. Так же действуют и экспериментаторы в мире науки, будь то физики, химики или биологи. «В прошлом люди распознавали хаотичное поведение почти везде, — отмечал Йорк. — При проведении физического эксперимента выясняется, что объекту присущи черты неустойчивости. Ученые пытаются зафиксировать их либо отказываются продолжать исследование, объясняя происходящее посторонними шумами или плохой постановкой опыта».

Йорк решил донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он написал статью для самого популярного научного издания из тех, где ее могли бы опубликовать, — для «Американского математического ежемесячника». (Будучи математиком, он не сумел облечь свои идеи в ту форму, которую посчитали бы приемлемой физические журналы; лишь много позже он вступил в сотрудничество с физиками.) Работа Йорка сыграла свою роль, однако в конечном счете самой замечательной ее частью стал интригующий заголовок: «Период с тремя волнами заключает в себе хаос». Коллеги советовали ему выбрать более строгую формулировку, однако Йорк упрямо стоял на своем.

Консультируясь с коллегами, Йорк поговорил и со своим другом Робертом Мэем, биологом по специальности. Как порой случается, Мэй проник в биологию «с черного хода». Сын преуспевающего адвоката, он начинал как физик-теоретик в своем родном Сиднее, в Австралии, затем прошел постдокторантуру в Гарварде. В 1971 г. его направили на годичную стажировку в Институт перспективных исследований в Принстоне. Здесь-то он, к удивлению своему, и увлекся биологией.

Даже сейчас биологи стараются по возможности не прибегать к математике. Умы же математического склада больше склоняются к физике, нежели к биологии или общественным наукам. Мэй был исключением из правила. Первоначально его интересы лежали в области абстрактных проблем устойчивости и сложности. Он пытался математически обосновать взаимозависимость этих явлений, существующих в противоборстве и неразрывной связи. Однако вскоре Мэй заинтересовался, казалось бы, несложными вопросами экологии, связанными с поведением отдельных популяций во времени. Невероятно простые модели представлялись ему неизбежным компромиссом. К тому времени, когда Мэй окончательно обосновался на одном из факультетов Принстона (в будущем австралиец станет фактически проректором по науке), он провел уже не один час, изучая варианты логистического разностного уравнения с применением математического анализа и примитивного карманного калькулятора.

Как-то, еще в Сиднее, он написал на доске в коридоре уравнение, чтобы над ним подумали студенты-выпускники. Однако уравнение зацепило его самого. «Господи, что же происходит, когда ламбда начинает превосходить точку аккумуляции?» — с напряжением размышлял Мэй. Он пытался уловить, что случается в момент приближения колебаний коэффициента роста к критической точке и превышении ее. Подставляя различные значения этого нелинейного параметра, Мэй обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего.

Когда задавалось низкое значение параметра, простая модель Мэя демонстрировала устойчивое состояние. При высоком же значении система как бы распадалась на два фрагмента и численность популяции начинала колебаться между двумя величинами. Наконец, при чрезмерном увеличении параметра поведение той же системы становилось непредсказуемым. Но почему? Что происходило на границах различных типов ее поведения? Мэй, как и его выпускники, не мог этого уяснить.

Он рассмотрел простейшее уравнение, причем его компьютерная программа была аналогом программы Смэйла, а сам ученый пытался рассматривать объект целиком — не локально, а глобально. Уравнение было проще всего, что когда-либо изучал Смэйл. Казалось невероятным, что потенциал такой несложной задачи в генерировании порядка и беспорядка неистощим. На самом же деле программа Мэя стала лишь началом. Он рассмотрел сотни значений параметра, задействовав обратную связь и наблюдая, где именно ряд чисел придет к фиксированному значению и случится ли подобное вообще. Он сосредоточивал все больше внимания на рубеже перехода от стабильного состояния к колебательному. Используя уравнение xc = rx (1-x), Мэй увеличивал значение параметра так медленно, как только мог. Если это значение составляло 2,7, численность популяции равнялась 0,6292. По мере увеличения параметра конечный результат так же медленно увеличивался, образуя на графике кривую, плавно поднимавшуюся слева направо.

Неожиданно, когда значение параметра превысило 3, линия раздвоилась. Численность воображаемой стаи рыб в предыдущий и последующий годы колебалась между двумя точками, не являясь единой величиной. Начиная с меньшего числа, она возрастала, а затем беспорядочно варьировалась до появления устойчивых отклонений в ту и другую стороны. Рост «холмика» на графике — небольшое увеличение параметра — вновь расщеплял колебания, генерируя ряд чисел, приходивших, в конечном счете, к четырем различным значениям, каждое из которых повторялось с регулярностью раз в четыре года[4]. Теперь компьютерная популяция Мэя увеличивалась и убывала в устойчивом четырехлетнем режиме. Длительность цикла вновь выросла в два раза — сначала с одного года до двух, затем — до четырех. И вновь подобное «круговое» поведение в итоге обнаружило стабильность: какова бы ни была начальная численность популяции, изменения ее укладывались в рамки четырехлетнего цикла.

Рис. 3.2. Удвоение периодов и хаос. Вместо применения отдельных диаграмм для демонстрации изменений в популяциях с различной степенью воспроизводства Роберт Мэй, наряду с другими учеными, использовал так называемую разветвленную диаграмму, чтобы соединить все данные в одном изображении. На диаграмме показано, каким образом изменение одного параметра, в данном случае — способности живущей в естественных условиях популяции к снижению и увеличению числа составляющих ее особей, повлияет на поведение рассматриваемой простой системы в целом. Значения параметра откладывались слева направо по горизонтальной оси; значения конечной численности популяции — по вертикальной. В известном смысле рост значения параметра знаменует перегрузку системы, увеличение в ней нелинейного элемента. Когда это значение невелико (слева), популяция угасает. По мере его роста (в центре) популяция достигает равновесия. Затем, при дальнейшем увеличении параметра, равновесное состояние расщепляется на две ветви, подобно тому как в процессе конвекции дальнейшее нагревание жидкости делает ее нестабильной. Начинаются колебания численности популяции между двумя различными уровнями. Расщепления, или разветвления, происходят все быстрее и быстрее. Далее система становится хаотичной (справа), и численность особей может приобретать бесконечное множество значений.