Путевые заметки рассеянного магистра - Владимир Левшин

— Ближе к делу! — перебил президент. — Меня сейчас интересует, верно ли, что Магистр гнался за Единичкой целых пять часов?

— На это ты мог бы ответить сам, — заметила Таня, — задача несложная.

— Сам знаю, что несложная, но я сегодня тороплюсь, мне раздумывать некогда.

— Скажите пожалуйста! В таком случае мог бы совсем не являться на заседание!

Нулик прищурился.

— Какая хитрая! А как бы я узнал про ошибки Магистра?

— Интересуешься всё-таки… Тогда не канючь и шевели мозгами. Ведь ясно, что если скорость товарного поезда в три раза меньше, чем скорость курьерского, то путь, который он прошёл за три часа, курьерский одолел за один час.

— И что из этого следует?

— А из этого следует, что Магистр ехал всего один час, а вовсе не пять.

— Это почему же?

— Да потому, что товарный, проехав три часа, встал на запасный путь, где простоял час. А за этот-то час курьерский его и нагнал. Сообразил?

— Не очень, — честно признался президент.

— Что ж, — усмехнулась Таня, — тогда составим уравнение. Примем скорость товарного поезда за единицу. Тогда скорость курьерского будет равна…

— Трём единицам, — вставил Нулик.

— Верно. А теперь сообрази, на сколько часов товарный был в пути дольше, чем курьерский?

— Сейчас сосчитаю. — Президент наморщил лоб. — Один вышел в двенадцать часов, другой в три… Ясно: товарный была пути на три часа дольше, чем курьерский.

— Чушь! Ты забыл, что товарный час простоял на запасном пути. Так что разность была всего-навсего два часа. Обозначим время, которое затратил на дорогу курьерский поезд, через x. Тогда товарный затратил (x+2) часов. Значит, путь, пройденный курьерским, равен 3x (время умножаю на скорость), тогда как товарный прошёл путь 1*(x+2), то есть просто (x+2). Ну, а раз один поезд нагнал другой, остаётся эти пути приравнять. Получим: 3x=x+2. А отсюда легко найти, что x=1. Вот и выходит, что курьерский поезд шёл всего-навсего один час, а товарный — на два часа больше, то есть три часа.

— Вот теперь понятно, — удовлетворённо сказал президент. — Можно идти дальше.

Таня вздохнула:

— Хоть бы поблагодарил, что ли…

— Спасибо, данке зер, гран мерси, сенк ю, — единым духом выпалил Нулик. (Нашёлся-таки: поди сердись на него после этого!)

Следующим выступил Олег. Президент втайне надеялся, что вещий Олег, как всегда, будет краток, но именно он-то и произнёс самую длинную речь.

— Как вы помните, — начал он неторопливо, — три мальчика, Аз, Буки и Веди, то есть попросту А, Б и В, собрались построить телефонную станцию. Место для неё надо было выбрать такое, чтобы на все три линии ушло как можно меньше проводов. Надо сказать, задача эта имеет свою историю. Она возникла более ста лет назад…

— Здравствуйте! — перебил президент. — Сто лет назад телефонов не было.

— Телефонов не было, — спокойно согласился Олег, — а проблема была. И не просто проблема, а проблема Штейнера.

— Что за Штейнер?

— Якоб Штейнер — замечательный швейцарский математик. Мальчишкой он пас коров на альпийских пастбищах и только девятнадцати лет научился читать и писать, а потом взял да стал профессором Берлинского университета, автором многих трудов по математике. Есть среди этих трудов и такая задача: как найти внутри треугольника такую точку, чтобы сумма расстояний от неё до всех трех вершин треугольника была наименьшей? Но ведь именно этим и занимались мальчики, о которых рассказывает Магистр. К сожалению, они не знали, что Штейнер давно разрешил их спор, да ещё для двух различных случаев. Первый случай, когда любой из углов треугольника меньше 120 градусов, второй — когда один из углов равен 120 градусам.

Тут оратор предупредил, что не станет давать никаких доказательств, а просто покажет, как находить нужную точку. А всякие Фомы неверующие (здесь Олег искоса взглянул на Нулика) могут проверить это по любой книжке, где говорится о проблеме Штейнера. Вот хотя бы по книжке Ку́ранта и Ро́ббинса «Что такое математика».

— Так вот, — продолжал Олег, — если любой из углов треугольника меньше 120 градусов, то искомая точка находится внутри треугольника.

— Как её искать? — спросил Нулик.

— Надо найти такую точку, чтобы из неё все три стороны треугольника были видны под одним и тем же углом в 120 градусов.

— Чепуха! — фыркнул президент. — Как это стороны могут быть видны под углом?

— Очень просто, — возразил Олег, не обратив никакого внимания на убийственную иронию Нулика. — Если из точки провести две прямые к концам какого-нибудь отрезка, то угол между этими прямыми и называется углом, под которым виден этот отрезок. Итак, если один из углов треугольника равен 120 градусам, то искомая точка будет как раз вершиной этого угла. Вот почему Единичка сказала, что предложение Магистра неверно. Она соединила на карте точки, где находятся дома А, Б и В, и увидела, что в полученном треугольнике каждый из углов меньше 120 градусов.

— Понятно, — кивнул Сева. — Но если мальчиков будет не три, а четыре или ещё больше? Где надо будет установить станцию тогда?

— Вопрос интересный, — сказал Олег, — он имеет большое экономическое значение. Ведь и телефонные провода, и трубы, и дороги надо проводить так, чтобы на них ушло как можно меньше материала и труда.

— Олег — экономист! — сострил президент.

Олег поклонился:

— Ничего не имею против такого звания. — Но проблемой Штейнера занимаются всё-таки не экономисты, а математики, — сказал я. — Есть в математике такой раздел — вариационное исчисление. Очень трудный, между прочим, раздел. Вариационное исчисление исследует многочисленные варианты решений и находит при этом самый выгодный. Ясно?

— Ясно-то ясно, — озабоченно отозвался президент, — но ни о каком исследовании вариантов не может быть и речи. На это уйдёт слишком много времени, а между тем Пончик и Кузя…

— Ладно, — сжалилась Таня, — так и быть, поторопимся. Сева, ты, кажется, хотел разобраться в вопросе о возведении в четвёртую степень?

— Сейчас, сейчас, — начал Сева нарочито медленно (он не мог отказать себе в удовольствии поддразнить президента). — Леди и джентльмены! Как вы помните, благородный рыцарь ордена Рассеянных магистров пытался в уме возвести в четвёртую степень некое покрытое тайной число. И хотя число было основательно засекречено, проницательная Единичка немедленно обнаружила, что ответ у Магистра неверен. Вы спросите, как она догадалась? Охотно открою её секрет. Магистр получил в ответ число… неважно теперь какое, важно то, что оно оканчивалось двойкой. Но ни одна четвёртая степень числа на двойку оканчиваться не может! Так же, впрочем, как и на тройку, и на семёрку, и на восьмёрку, и на девятку. Четвёртая степень любого числа оканчивается либо на 1, либо на 6, а ещё — на 5 и на 0. При этом прошу вас отметить, что подобным капризным образом ведут себя не только четвёртые степени, но и все степени, кратные четырём, — восьмая, двенадцатая, шестнадцатая и так далее!

— Вот здо́рово! — воодушевился Нулик, сразу позабыв о Пончике и Кузе. — И другие степени тоже ведут себя по-особому?

— Без всякого сомнения, — величественно ответствовал Сева. — Степени своенравны, но любят порядок и никогда от него не отступают. Вот, например, все пятые степени оканчиваются той же цифрой, что и их основание. Например, 2 в пятой степени равно 32; 4 в пятой степени — 1024 и так далее. Тому же правилу подчиняются девятая, тринадцатая, семнадцатая и многие другие степени. Арифметика педантична. Не то что Магистр. Вот почему он так часто ошибается. Я кончил!

— Уже? — искренне огорчился президент. — Жаль, так было интересно.

— А Пончик? — спросил Сева. — Уж не хочешь ли ты сказать, как древний философ: «Пончик мне друг, но математика дороже»?

Вспомнив о Пончике, Нулик снова заторопился. К счастью, у нас оставался всего один неразобранный вопрос, однако желающих высказаться почему-то не находилось. А в таких случаях — вы уже знаете — очередь за мной.

— Не стану злоупотреблять вашим драгоценным временем, — сказал я, невольно подражая высокопарному стилю Севы, — но всё же для ясности должен остановиться на вопросе о «Стальных мускулах» несколько подробней. Как вы помните, друг наш был удивлён, не увидев в «Стальных мускулах» ни боксёров, ни борцов, ни штангистов. Пропускаю мимо ушей замечание Магистра о водном хоккее, — на то он и Магистр Рассеянных Наук! Разберёмся-ка лучше в том, что это за «Стальные мускулы», кто такой заведующий-упругист и, наконец, права ли была Единичка, когда решила повесить на маленький гвоздик огромную гирю. Как я понимаю, Магистр с Единичкой попали в лабораторию сопротивления материалов.