Научная революция XVII века - Владимир Кирсанов

Для Ньютона в подходе Декарта наиболее важной была процедура перехода от двух точек пересечения к одной, и уже весной 1665 г. он определяет центр кривизны кривой как точку пересечения двух бесконечно близких нормалей, а 20 мая 1665 г. он пишет статью о максимумах и минимумах, где прямо переходит к методам исчисления бесконечно малых. В задаче о нахождении поднормали он поступает следующим образом: наряду с точкой e (которая, как и у Декарта, есть общая точка окружности и кривой) он берет другую точку пересечения f, бесконечна близкую к e; тогда c будет бесконечно близко к b. Расстояние cb он обозначает как o малое (такое обозначение он ввел несколько раньше). Затем, полагая, что de = df, и воспользовавшись теоремой Пифагора, Ньютон получает

vv + yy = ed2 = ef2 = zz + vv + 2vo + oo,

где ab = x; db = v; dc = v—o; eb = y; bc = o; cf = z. Из этого соотношения легко получить известную формулу дифференциального исчисления для поднормали: v = ydy/dx, ибо, как легко видеть, dx = o; z = y + dy. Но здесь Ньютон эту формулу не выписывает, он получает ее несколько позднее в работе под названием «Общая теорема о касательных к кривым линиям, когда x┴y».

Наряду с исследованиями, инспирированными «Геометрией» Декарта, Ньютон много размышляет над результатами Валлиса, содержащимися в его книге «Арифметика бесконечных». Самым важным достижением Ньютона в этом направлении было открытие разложения бинома в степенной ряд; помимо этого, им были получены разложения для арксинуса

arcsin х = х/2 + х3/12 + 3х5/80 + 5х7/224 + ...

и логарифма

ln(1+х) = x — x2/2 + x3/3 — х4/4 +...

Все это было им получено к зиме 1664/65 г. К середине 1665 г. результаты, содержащиеся в книге Валлиса, относительно квадратуры параболических кривых, а также в работе ван Хойрата о спрямлении кривых, дают новый импульс исследованиям Ньютона, и он переходит к рассмотрению проблем интегрального исчисления. Здесь им впервые устанавливается взаимно обратная связь между дифференцированием и интегрированием, а затем он начинает систематическую разработку метода флюксий. Под флюксиями Ньютон понимал производные координат x, y, z по времени, т. е. dx/dt, dy/dt, dz/dt. В первых своих работах 1665—1666 гг. он называл их сначала «движениями», а затем «скоростями».

Кинематический подход Ньютона к понятиям математического анализа чрезвычайно характерен для английской школы натуральной философии. В качестве примера можно сослаться на случай с У. Томсоном (лордом Кельвином), произошедшим два с половиной столетия спустя. Ф. Клейн рассказывает, что, «войдя раз в аудиторию, Томсон обратился внезапно к слушателям с вопросом: что такое производная? В ответ он получил все мыслимые строго логические определения. Все они были отвергнуты: «Ах, бросьте вы этого Тодгентера (представитель чистой математики в Кембридже), производная есть скорость!» [5, с. 280].

Свои результаты по созданию метода флюксий Ньютон подытожил в трех работах, относящихся к ноябрю 1665 г., а также к маю и октябрю 1666 г., в них даются наиболее важные правила дифференцирования, разложения в степенные ряды и рассматриваются соответствующие задачи.

Первые два года после возвращения Ньютона в Кембридж были прямым контрастом спокойной жизни в деревенской глуши, сопряженной с глубокими творческими озарениями. В Кембридже нервная обстановка, связанная с борьбой за академические привилегии, выбила его из колеи обычной размеренной жизни, но нельзя сказать, что результаты его усилий не доставили Ньютону удовольствия. Пожалуй, впервые мы видим Ньютона, занимающегося устройством своего быта — он обставляет свою комнату в Тринити, шьет себе новое платье и, наконец, впервые позволяет себе поездку в Лондон. В столице он не стремится (или не решается) познакомиться с членами Королевского общества, например с Бойлем и Гуком, чьи труды он хорошо знал, но само Общество уже год назад стало предметом его пристального внимания — тогда же он купил только что вышедшую «Историю Королевского общества» Спрэта и начал читать «Philosophical Transactions».

В это время его научные занятия не позволяют выделить какого-либо доминирующего направления: он увлеченно занимается оптикой, строит первую модель отражательного телескопа, проводит долгие часы в химической лаборатории (алхимия — его новое увлечение!), по-прежнему много размышляет о математических проблемах. Но, говоря о математике, интересно подчеркнуть связь между его знаменитым трактатом «Об анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов» и историей его назначения профессором люкасовской кафедры. Собственно, трактат этот знаменит потому, что до последнего времени более ранние работы Ньютона были неизвестны, а результаты именно этих работ составляют основное содержание трактата. Его появление было стимулировано появлением книги Николаса Меркатора «Логарифмотехния», где дано разложение в степенной ряд логарифма (ряд для ln(1+x) получался в результате простого деления единицы на 1 + x и последующего почленного интегрирования), таким образом, давалось ясное указание на то, что использование рядов является мощным методом вычислений. Ньютон сразу понял, что Меркатор стоит в начале того самого пути, на котором стоял он сам четыре года назад, и он определенно не хотел, чтобы полностью разработанный им метод стал считаться заслугой человека, который сообщил лишь один частный пример этого метода. Поэтому он в спешке принялся за составление трактата «Об анализе».

То, каким образом книга Меркатора попала к Ньютону, служит свидетельством роста его известности и вместе с тем дает еще один пример роли посредников в научном сообществе XVII в. В данном случае таким посредником был Джон Коллинз, математик-любитель, через которого многие английские ученые вели переписку между собой и со своими зарубежными коллегами; с 1670 г. его регулярным корреспондентом стал и Ньютон. В начале 1669 г. Коллинз послал книгу Меркатора Барроу, а в июле получил ответ. Из ответа следовало, что коллега Барроу по университету, человек «необычайных способностей» (a very excellent genius) в математике «на следующий день принес ему несколько статей, в которых он излагает методы расчета величин, похожие на метод Меркатора для гиперболы [т. е. для 1/(1+x)], но значительно более общий» [4, I, с. 13].

Это письмо свидетельствует о том, что к июлю 1669 г. Ньютон и Барроу уже были хорошо знакомы, по-видимому, Барроу узнал о работах Ньютона после его возвращения в Кембридж, во всяком случае, ко времени получения книги Меркатора он был хорошо осведомлен о его результатах в области нового анализа, почему и сообщил Ньютону о книге.

Ньютон был весьма озабочен вопросом о приоритете, времени у него было мало, поэтому трактат «Об анализе» он написал в явной спешке, «со многими вычеркиваниями и переделками, а также с отдельными частными ошибками, которые Ньютон мог бы исключить и, наверное, исключил бы, будь у него время» [6, II, с. 165]. В результате Коллинз получил трактат в конце июля 1669 г., который был послан ему Барроу, чтобы таким образом оповестить ученый мир о достижениях Ньютона и доказать его приоритет.

Рукопись «Об анализе» представляла собой систематический обзор ранних исследований Ньютона, но, как справедливо указывает А. П. Юшкевич, «необходимо подчеркнуть наличие в сочинении “Об анализе” важных приемов и идей, отсутствующих в более ранних, дошедших до нас рукописях, хотя, быть может, известных Ньютону и ранее лета 1669 г. Это прежде всего прием численного решения уравнений, и особенно решение буквенных уравнений по способу, вскоре изложенному им в форме так называемого параллелограмма Ньютона,— именно этот прием сообщал в глазах Ньютона и его последователей широкую применимость метода флюксий. Это, далее, замечательный по простоте вывод правила дифференцирования xn при любом рациональном n и, наконец, заключительные соображения о сходимости возникающих при решении бесконечных рядов» [7, с. 159—160].

Коллинз был достаточно искушенным математиком, чтобы понять значение полученных Ньютоном результатов, поэтому прежде чем возвратить рукопись Барроу (как тот просил в сопроводительном письме), Коллинз снял копию, которую не только показал своим друзьям и знакомым, но и написал и послал изложение трактата наиболее знаменитым из своих корреспондентов — Джеймсу Грегори в Шотландию, Рене Слюзу в Голландию, Джованни Альфонсо Борелли в Италию и Жану Берте во Францию. Так Ньютон стал приобретать европейскую известность.

Теперь становится понятным, почему Барроу счел Ньютона наиболее достойным преемником на люкасовской кафедре. К 1669 г. он был хорошо знаком с математическими работами Ньютона и вполне сумел оценить его very excellent genius.

Но действительно ли дело обстояло таким образом, что Барроу отказался от кафедры в пользу Ньютона из-за того, что считал его более достойным? Результаты исследований последнего времени показывают, что на этот вопрос следует ответить отрицательно. Живучесть такой версии определяется тем, что она принадлежит самому Ньютону: много лет спустя Ньютон рассказал Конти, что в некоторой задаче о циклоиде Барроу получил довольно громоздкое решение и был поражен, когда Ньютон получил требуемый результат в шесть строк. Тогда будто бы Барроу признался Ньютону, «что он лучший ученый, чем он сам» («that he more learned than he»), и отказался от кафедры [2, с. 206]. «Этот рассказ,— говорит Уэстфолл,— совершенно невозможно согласовать с обычаями университета после Реставрации» [2, с. 206]. Но дело скорее даже не в этом. Барроу не был удовлетворен своим положением люкасовского профессора. Он считал себя в первую очередь богословом, а не математиком, а кроме того, он рассчитывал на продвижение по службе, и, как показали дальнейшие события, не без оснований. Не прошло и года после отставки Барроу, как он был назначен духовником короля, а через три года он становится магистром (т. е. главой) Тринити-колледжа. С другой стороны, устав люкасовской кафедры запрещал Барроу-профессору любое продвижение по священнической или богословской линии.