Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко

Экономика должна быть экономной

Пока наша модель обмена никак не учитывает достатка игроков, она остается нереалистичной. В действительности богатые тратят больше, а бедные меньше; более того, разумные люди стараются сохранить какую-то часть своего состояния. В качестве следующего усложнения модели потребуем, чтобы игроки в процессе перераспределения отдавали некую известную долю своего состояния Δm = [αm], где 0<α<1. При этом дробные денежные единицы округляются до ближайшего целого вниз (это значит, что если αm окажется меньше единицы, то Δm = 0). Иными словами, добавим нашим участникам желание быть экономными.

В систему вводятся новый параметр и новое ограничение; следовательно, равновесное состояние должно как-то отклониться от экспоненциального. Оперируя долями от уровня благосостояния, мы переходим к мультипликативным характеристикам, таким, например, как доходность вложения, возврат инвестиций и т. д. Во всех учебниках по экономике указывается, что если вы желаете вычислить среднюю доходность вложения, скажем, за много лет, то следует определять среднее геометрическое для доходностей каждого года. В нашем случае среднее геометрическое однозначно, хоть и нетривиально, определяется значением α. Таким образом, добавляя новый параметр, мы фиксируем среднее геометрическое распределения дохода игроков, или среднюю доходность модели рынка. Значит, согласно таблице распределений с максимальной энтропией, мы можем ожидать, что равновесное распределение богатства должно неплохо описываться гамма-распределением. В этом мы можем убедиться, проведя имитационное моделирование (рис. 9.10).

Рис. 9.10. Если расходы при обмене пропорциональны достатку, равновесное распределение стремится к характерному несимметричному колоколообразному гамма-распределению. В данной модели α = 1/3

Для имитационного моделирования был реализован такой алгоритм пропорционального обмена.

Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m, alpha — доля капитала, которая тратится при обмене.

Повторять

· · · · i <- случайное целое от 0 до n

если xs[i] > 0

· · · · · · · · dx <- floor(xs[i]*alpha)

xs[i] <- xs[i] — dx

· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до n

xs[j] <- xs[j] + dx

Эта книга — хоть и популярная, но все же математическая. Это значит, что все результаты, попавшие на ее страницы, имеют доказательства или строгий вывод, пусть зачастую и остающиеся за пределами изложения в силу их громоздкости. И хотя для дальнейшего изложения этот результат не нужен, я приведу точное и довольно изящное выражение для распределения, которое мне удалось получить для модели пропорционального обмена.

Гамма-распределение Gamma(k,θ) — двухпараметрическое распределение, которое часто используется как обобщение экспоненциального и сводится к нему при k = 1. Оно имеет ряд замечательных свойств, делающих его полезным. Об одном из них мы уже говорили — это распределение с максимальной энтропией в своем классе. Другое важное свойство — его бесконечная делимость и связанная с этим устойчивость. Случайная величина называется бесконечно делимой, если для любого числа n≥1 ее можно представить в виде суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин. А если эти слагаемые имеют то же распределение, что и исходная случайная величина, последняя называется устойчивой. Яркий пример устойчивого распределения — нормальное. И именно это его свойство вместе с тем, что оно является распределением с максимальной энтропией в самом широком классе распределений, делает его героем центральной предельной теоремы.

Но вернемся к гамма-распределению. Для него верно, что:

если x ~ Gamma(k1,θ), y ~ Gamma(k2,θ), то x + y ~ Gamma(k1 + k2,θ).

Наконец, гамма-распределение масштабируемо:

если x ~ Gamma(k,θ), то ax ~ Gamma(k,aθ).

Все эти свойства позволили получить распределение благосостояния для нашей модели со средним значением m и коэффициентом α в таком виде:

В модели обмена фиксированной суммой вероятность потерять все деньги была достаточно велика. В модели пропорционального обмена она оказывается равна нулю. Это связано с тем, что бедные тратят в среднем меньше, чем получают от богатых, ведь и те и другие обмениваются долями своего капитала. Но этот социальный лифт действует только при α < 1/2. Если тратить больше половины того, что имеешь, вероятность оказаться в бедняках становится не просто отличной от нуля, а весьма ощутимой. Для различных значений можно получить различающиеся по форме распределения с широким диапазоном несправедливости (рис. 9.11).

Рис. 9.11. Различные варианты равновесных распределений при расходах, пропорциональных достатку. Графики помечены значениями α, на правом графике в скобках приведены еще и значения индекса Джини

Получается, что чем большую часть своего капитала игроки вынуждены тратить (например, на повседневные нужды или еду), тем больше становится доля бедных и тем менее справедливым оказывается общество. Любопытно, что при α = 1/2 равновесное распределение становится экспоненциальным, как в модели при равном обмене. Напомню, что экспоненциальное распределение — частный случай гамма-распределения с параметром k = 1, так что это превращение само по себе неудивительно. Но тут есть одна любопытная тонкость: энтропия этого частного случая превышает энтропию распределений с любыми другими значениями α. Посмотрите, как изменяется энтропия по мере развития ситуации при α = 0,75 (рис. 9.12).

Рис. 9.12. В процессе перехода к равновесию система «проскакивает» состояние с максимальной энтропией

Поначалу значение энтропии монотонно увеличивается; потом, практически достигнув теоретического максимума, соответствующего экспоненциальному распределению, рост энтропии останавливается, и она начинает уменьшаться. Нет ли в этом противоречия с определением равновесного состояния как состояния с максимумом энтропии? Противоречия нет, поскольку равновесное состояние должно быть, во-первых, стационарным, не создающим направленных потоков энергии, а во-вторых, устойчивым или, говоря языком теории динамических систем, притягивающим к себе систему. В конце концов, среди всех стационарных состояний равновесным будет состояние с максимальной энтропией. А в нашем случае при α = 0,75 экспоненциальное распределение соответствует