Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко

и остановиться, получив экспериментальную гистограмму, отражающую распределение числа последовательных дел, которые можно завершить в ограниченный срок. Это же скорее развлекательная книга, а не учебник и не научная статья. Но, поверьте, я просто не смог этого сделать: отсутствие точного решения не давало мне покоя. Я готов был вообще выбросить этот эпизод из книги — и не потому, что не верил в точность результата, а потому что не считал это каким-то результатом. Я исписал множество листов, пытаясь вывести точную формулу, но ничего не выходило! Повторю, я не настоящий математик, у которого есть последовательное базовое математическое образование. Мне недоставало не инструментария или методик — я легко отыскивал их в учебниках и статьях. Но они заводили меня в дебри и тупики. Мне не хватало интуиции математика — той самой штуки, которая либо возникает от многих лет непрестанной работы, постоянного поиска внутренних связей и закономерностей, либо дается от рождения, примерами чего могут быть такие потрясающие люди, как Сриниваса Рамануджан Айенгор или Карл Фридрих Гаусс. Но большинство великих, замечательных и просто видных математиков были вооружены не врожденным талантом, а любовью к этой науке, предельной честностью перед собой и, главное, невероятным трудолюбием, благодаря которым их математическая интуиция превращалась в самую настоящую магию! И я убежден, что она доступна всем, но требует непрестанных упражнений: как говорили в моем родном Новосибирском государственном университете, «приседания мозгами». А силу для этих упражнений может дать только любовь. Ни чувство долга, ни страх провалить сессию, ни осознание полезности математики как инструмента не станут достаточной мотивацией для такой удивительно кропотливой, незаметной и чаще всего непрактичной работы.

Задачка о проклятии режиссера вряд ли спасет чьи-то жизни или принесет мне славу и много денег, но без точного результата я чувствовал себя не вправе говорить о ней, поэтому я вновь и вновь выписывал столбцы известных мне точных значений функции вероятности (для k = 1, 2 и n), дополняя эмпирическими цифрами, приведенными к рациональному виду (мне быстро стало ясно, что нормировкой искомой функции будет n!), пытаясь то угадать закономерность, то получить ее, подходя так или эдак. В конце концов решение пришло ко мне так же, как решения больших и чудовищно сложных задач приходят к настоящим математикам. Итогом моего пристального всматривания и вживания в ряды чисел стала искра интуиции. Блуждая уже практически бесцельно по страницам справочника комбинаторики, я наткнулся на числа Стирлинга, о существовании которых до этого и не подозревал. Они происходят из совсем другой задачи и поначалу вызвали просто любопытство. Хорошо, что в справочнике приводились некоторые примеры рядов этих чисел. Мой взгляд выхватил знакомые цифры, и после недолгих проверок мне уже было ясно: мое распределение выражается через числа Стирлинга настолько просто и лаконично, что это стало настоящей наградой! Решение нашлось и, более того, оказалось удивительно простым и красивым! Но, конечно, и этого было мало. Совпадения чисел недостаточно для утверждения о том, что решение найдено. Однако, зная, что искать, я уже без труда смог строго свести рекуррентное соотношение для моего распределения к соотношению, определяющему числа Стирлинга, после чего задачу можно было счесть решенной.

Мне очевидно, что это достаточно скромный результат, а специалисту по комбинаторике он, скорее всего, покажется простым упражнением. Но я могу им гордиться. После долгих упорных усилий и из моей волшебной палочки вылетели наконец искры и перышко взлетело на пару сантиметров над столом! Это значит, что я действительно делал все верно и когда искал решение, и, главное, когда не допускал возможности публиковать простую эмпирику, претендуя на объяснение пусть даже шуточного эффекта. Я пишу эти строки не для того, чтобы похвастаться, а чтобы вдохновить тех, кто чувствует в себе настоящую любовь к математике, на долгий, кропотливый, но счастливый труд.

К законам подлости эти мои рассуждения имеют вот какое отношение. Метод пристального всматривания в расчете на интуицию работает только тогда, когда к волшебной палочке прилагается аналитический аппарат, который позволит строго проверить результат «озарения». В известной книге «Физики шутят» приводился анекдот о том, как строятся рассуждения представителей различных специальностей.

— Взгляни на этого математика, — сказал логик. — Он замечает, что первые девяносто девять чисел меньше сотни, и отсюда с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что любые числа меньше сотни.

— Физик верит, — сказал математик, — что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например 10, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Поскольку 60 делится на них, он считает экспериментальные данные достаточными.

— Да, но взгляни на инженера, — возразил физик. — Он подозревает, что все нечетные числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 — досадный случай; по-видимому, 9 не является простым числом. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9, — говорит он, — я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента[35].

Это забавно, конечно, но вот вам такой числовой ряд:

1, 2, 4, 8, 16, …

Продолжите его. «Это же, очевидно, степени двойки! — воскликнете вы. — Следующим числом будет 32, а за ним 64 и т. д.». Но что, если я скажу вам, что следующим должно быть 31? И это не степени двойки, а значения вот такого выражения:

При n = 0, 1, 2, 3, … здесь под знаком суммы стоит биномиальный коэффициент. Первые тринадцать членов этого ряда выглядят так:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, …

Приведенное мною выражение дает число областей, на которые разбивается круг, если расположить на его окружности n различных точек и соединить их каждую с каждой[36]. И эта простая и абсолютно понятная задача имеет столь коварную «подсказку»! Ведь на проверку даже первых пяти чисел уже должно уйти достаточно много времени, чтобы заключить, что число областей выражается степенью двойки. Ну а если упорство возобладает, то подсчет областей при n = 6 неизбежно вызовет недоумение и поиск ошибки