Занимательная Греция. Капитолийская волчица (сборник) - Михаил Гаспаров

Парменид как бы заочно успокаивал плачущего Ге – раклита. Да, в окружающем нас мире все течет, рождается и умирает, но есть и другой мир, мир мысли, в котором все неизменно и вечно. В здешнем мире Пифагор давно умер, мы его не увидим и не услышим; но мы можем подумать о нем, и он предстает нашей мысли как живой, – это значит, что мы заглянули умственным взором в тот мир, где он вечно жив. Какой же из этих двух миров настоящий и какой ненастоящий? Нам хочется ответить: окружающий нас – настоящий, а мысленный – выдуманный. Парменид отвечал наоборот: мир мысли – настоящий, а мир наших ощущений – ненастоящий. Потому что в человеческом сознании мысль – хозяин, а чувства – ее рабы, которые лишь питают ее: одно – образами зрения, другое – образами слуха и так далее. А кому можно больше доверять, хозяину или рабам? Грек отвечал сразу и твердо: хозяину.

Не спешите смеяться над чудаком Парменидом, который в добавление к окружающему нас миру придумал несуществующий второй. Мы еще увидим, как пересочинит этот его второй мир философ Платон. И тем более не смейтесь над тем, как доказывал Зенон, что движения нет и Ахилл никогда не догонит черепаху. Показать, что это не так, очень легко: шаг, два, и готово. А вот доказать, почему это не так, очень трудно. И философы даже в наши дни порой спорят с Зеноном, словно с современником.

Наглядная математика

«3 в квадрате будет 9», «3 в кубе будет 27». А вы задумывались, почему мы называем число, умноженное само на себя, квадратом, а умноженное само на себя и еще раз на себя – кубом? Потому что так представляли их греки. У них было, если можно так выразиться, зрительное мышление. Недаром в греческом языке «видеть» и «знать» были родственные слова (как в нашем – «видеть» и «ведать»). Оттого и был у греков такой сильный страх перед бесконечностью, что ее никак нельзя вообразить зрительно.

Нарисуйте в вашей тетрадке число 3 в виде трех точек подряд, как на кости домино. И подумайте: а как теперь удобнее всего нарисовать число 9? Очевидно – пририсовать над ним еще одно такое троеточие, а потом еще одно. Получится квадрат из 9 точек со стороной 3. Теперь возьмем три таких квадрата и положим их друг на друга. Получится куб из 27 точек со стороной 3. Вот так видели свои числа древние греки: как выложенные из камешков. Так что, кроме «квадратных» чисел, у них были и «продолговатые», а кроме «кубических» – и другие «объемные». Например, число 6 было продолговатым – как бы прямоугольником, у которого длина 3, а ширина 2. А число 30 – объемным: параллелепипедом, у которого длина 3, ширина 2, а высота 5.

(Почему «2 в квадрате – 4», – теперь понятно; но почему «2 – квадратный корень из 4»? Слово «корень» ввели в математику уже не греки, а арабы. Они предпочитали представлять мир не геометрическим, как греки, а органическим; и в этом мире из числа 2, как растение из корня, вырастает число 4, а потом 8, а потом 16 и все остальные степени.)

При греческом зрительном воображении приятно было перестраивать числа из фигуры в фигуру: например, представлять число 12 то как длинный узкий прямоугольник 6 2, то как короткий и широкий 3 4. Поэтому греки обращали большое внимание на набор делителей числа. Например, если число равнялось сумме собственных делителей, оно называлось «совершенным». Греки знали четыре таких числа – 6, 28, 496 и 8128. (Если хотите, убедитесь: 6 = 1+2+3 = 1×2×3.) А если из двух чисел каждое равнялось сумме делителей другого, эти числа назывались «дружащими»: например 220 и 284. (Если хотите, проверьте: 1+2+4+71+142 и 1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110.) Когда Пифагора спросили, что такое друг, он ответил: «Второй я» – и добавил: «Это как 220 и 284».

Неудобства начинались при обращении с дробями: ведь точку не раздробишь на части. Поэтому греки предпочитали иметь дело не с дробями, а с отношениями: говорили не «одна седьмая часть единицы», а «одна единица от семи». Отношения и пропорции они сортировали с большой любовью. Мы говорим: «Число 20 кратно числу 5», то есть делится на него. А грек мог вдобавок сказать: «Число 20 кратночастно числу 16», то есть делится на разность между ними. Вы знаете: число 4 – это среднее арифметическое чисел 2 и 6, то есть сумма их, деленная пополам. Некоторые, может быть, знают: число 4 – это среднее геометрическое чисел 2 и 8, то есть квадратный корень из их произведения. А грек вдобавок знал: число 4 – это «среднее гармоническое» чисел 3 и 6, то есть их удвоенное произведение, деленное на их сумму.

Когда вы начинали учить алгебру, то заучивали такие формулы, как:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2;

a2 – b2 = (a + b) (a – b).

Вы помните, как они выводились? Это было довольно громоздко. А грек со своей привычкой к наглядности доказывал их не вычислением, а чертежом: чертил отрезок А, отрезок В, строил на них квадраты и показывал: «Вот!» Посмотрите и убедитесь.

Такие геометрические доказательства выручали греков в их страхе перед бесконечностью. Вы смогли бы, например, извлечь точный корень из числа 2? Нет, не смогли бы: получили бы бесконечную дробь. А греческий математик поступал просто: чертил отрезок длиной в данное число, строил вокруг квадрат, в котором он был бы диагональю, показывал на сторону этого квадрата и говорил: «Вот!»

В современной математике такие величины, никогда не вычисляемые до конца, называются иррациональными. Греки называли их «невыразимые». «Невыразимым» было отношение диагонали и стороны в квадрате– 1,41421…; «невыразимым» было и отношение длины окружности к диаметру в круге, знаменитое число «пи» – 3,14159… (π – это первая буква греческого слова «периферия», окружность). Это число изобразить было труднее, и греческие математики в своей борьбе с бесконечностью век за веком ломали голову над «квадратурой круга»: как по данному диаметру крута с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий этому кругу?

Можно задать вопрос: а почему, собственно, с помощью только циркуля и линейки? Не попробовать ли изобрести новый прибор, посложнее, который позволил бы решить эту задачу? Но грек нам гордо ответил бы: «Возиться с приборами – это дело раба, привычного к ручному труду, а свободному человеку приличествует полагаться лишь на силу ума».

Вот как, оказывается, рабовладельческий образ мысли проявляется даже в такой отвлеченной науке, как математика.

Четыре стихии

Гераклита и Парменида решил помирить сицилиец Эмпедокл. Он сказал: «Ни война, ни мир на земле не вечны. Так и во вселенной. Они сменяют друг друга, как времена года. Мир шарообразен, но этот шар неоднороден. В нем смешаны четыре стихии: земля, вода, воздух, огонь. А над ними властвуют две силы: Любовь и Вражда. Наступает пора мира – и в центре мирового шара царствует Любовь, она сливает вокруг себя четыре стихии в то самое Единство, о котором мечтал Парменид, а Вражда отступает и лишь снаружи облегает мировой шар. Наступает новая пора – и Вражда со всех сторон начинает проникать в мир, вытесняя из него Любовь, а на пути своем она разобщает четыре стихии, и они встают войной друг на друга. Наконец Вражда восседает в центре мира, вокруг нее кипит гераклитовская война четырех стихий, а Любовь оттеснена наружу и ждет своего часа. А потом все повторяется в обратном порядке. Если это на что-нибудь похоже, то больше всего – на гражданский мир и гражданскую войну в городе, где есть несколько политических партий. Сейчас мир на полпути: то ли от Вражды к Любви, то ли наоборот».

Как Фемистоклу не давали спать лавры Мильтиада, так Эмпедоклу – лавры Пифагора. Он тоже хотел быть пророком и чудотворцем. Когда ему предложили царскую власть, он отверг ее: «Лучшее из растений – лавр, из животных – лев, из людей – мудрец, а вовсе не царь». Держался он еще величавее, чем царь, носил пурпурный плащ, золотую повязку на голове и медные сандалии. Учение свое он изложил стихами и читал эти стихи в Олимпии. А когда в Олимпии его колесница одержала победу на играх, он принес в жертву быка из медового теста и пряностей, потому что пифагорейский закон запрещал убивать животных.

В одном городе люди часто болели оттого, что вода в реке была нездоровой. Эмпедокл провел к ней канал от другой реки, и болезни прекратились. В другом городе вода была здоровой, а люди все равно болели. Эмпедокл догадался, что это оттого, что ветры, дующие на город из-за гор, были нездоровыми; он приказал загородить бычьими кожами ущелья в горах, и болезни прекратились. С этих пор его прозвали «ветроловом». В этом был не только восторг перед его проницательностью, но и насмешка над его тщеславной погоней за почестями. Тщеславен он был до крайности и считал, что равных ему нет на свете. Однажды он сказал Пармениду: «Трудно найти истинного философа!» – «Да, – невозмутимо ответил Парменид, – для этого надо самому быть истинным философом».

Он не хотел умирать, как все люди, а хотел сжечь себя, как Геракл, чтобы сделаться богом. Почувствовав приближение смерти, он вскарабкался на огнедышащую Этну и бросился в ее жерло. Лава выбросила на склон его медную сандалию.