Леонардо да Винчи. Избранные произведения - Сборник

96 Е. 60 r.

То, что в акте делимо, делимо и в потенции; хотя это и не значит, что делимое в потенции делимо и в акте. И если деления, совершаемые потенциально в бесконечность, меняют субстанцию делимой материи, то деления эти вернутся к составу своего целого при воссоединении частей по тем же стадиям, по которым они делились. Возьмем, например, лед и будем делить в бесконечность: он превратится в воду, из воды в воздух, и если воздух опять уплотнится, то станет водой и из воды градом и т. д.

97 С. А. 119 v. b.

Хотя то, что делимо актуально, делимо и потенциально, однако не все величины, делимые потенциально, будут делимы актуально.

Уже в Средние века хорошо было известно, что потенциально до бесконечности делимый континуум (in infinitum divisibile) не является еще актуально разделенным или разделимым на актуально бесконечное число частей (divisibile in infinitum).

98 М. 87 v.

Если угол есть встреча двух линий, то, поскольку линии кончаются в точке, бесконечные линии могут иметь начало в такой точке и, наоборот, бесконечные линии могут вместе в этой точке кончаться; следовательно, точка может быть общей началу и концу бесчисленных линий.

И кажется здесь странным, что раз треугольник кончается точкой в вершине угла, противолежащей основанию, и можно его разделить с концов основания на бесконечное число частей, что точка, будучи общим пределом всех названных делений, вместе с треугольником окажется делимой до бесконечности.

Разделить с концов основания – разделить бесконечным числом линий, проходящих через все точки основания, расположенные между его концами.

99 Вr. М. 131 r.

Наименьшая физическая точка больше всех математических точек, и следует это из того, что физическая точка есть величина непрерывная, а все непрерывное делимо до бесконечности, а точка математическая неделима, потому что не есть величина.

Всякая непрерывная величина мысленно делима до бесконечности.

(Среди всех вещей, существующих меж нас, существование ничто занимает первое место, и ведение его простирается на вещи, не имеющие существования, и сущность его обретается во времени в прошлом и будущем и ничего не имеет от настоящего. В этом ничто часть равна целому, и целое части, и делимое неделимому, и дает оно при делении тот же результат, что при умножении, и при сложении тот же, что при вычитании, как видно это у арифметиков из десятой их цифры, изображающей ничто; и власть его не простирается на вещи природы.

То, что называется ничто, обретается только во времени и словах; во времени обретается оно среди прошлого и будущего и ничего не удерживает от настоящего; также и в словах – в том, о чем говорится, что его нет или что оно невозможно.)

Во времени ничто находится в прошлом и будущем, и ничего не имеет от настоящего, и в природе сближается с невозможным, отчего, по сказанному, не имеет существования, поскольку там, где было бы ничто, должна была бы налицо быть пустота.

Среди великих вещей, которые находятся меж нас, существование ничто – величайшее. Оно пребывает во времени и в прошлое и будущее простирает свои члены, коими захватывает все минувшие дела и грядущие, как [неодушевленной] природы, так и существ одушевленных, и ничего не имеет от неделимого настоящего. Оно не распространяется на сущность какой-либо вещи.

Обретается среди прошлого и будущего и т. д. – Дюэм неверно переводит: son essence réside entre le passé et le futur, et la grandeur nulle est en possession du présent, – сближая мысль Леонардо с мыслями Николая Кузанского и Бергсона: точка, настоящее, покой – чистые невозможности и с тем вместе единственно доступны интеллекту. Так как перевод неточен (ср. след. абзац), то отпадает и комментарий.Члены – первоначально было «руки». В круглых скобках – зачеркнутое самим Леонардо.

100 Вr. М. 173 v.

Хотя время и причисляют к непрерывным величинам, однако оно, будучи незримым и без тела, не целиком подпадает власти геометрии, которая делит на фигуры и тела бесконечного разнообразия, как мы видим, что это делается с видимыми и телесными вещами; но совпадает оно только с первыми началами ее, то есть с точкой и линией: точка во времени должна быть приравнена мгновению, а линия имеет сходство с длительностью известного количества времени, и подобно тому как точки суть начало и конец вышеназванной линии, так мгновения суть предел и начало каждого данного промежутка времени, и если линия делима до бесконечности, то промежуток времени не чужд такого деления, и если части, на которые разделена линия, соизмеримы друг с другом, то также и части времени будут друг с другом соизмеримы.

101 Br. M. 176 r.

Напиши о свойстве времени отдельно от геометрии.

102 С. А. 131 v.

Что за вещь, которая не существует и которая, существуй она, не существовала бы? Бесконечное, которое, если бы могло существовать, было бы ограниченно и конечно, так как то, что может существовать, имеет пределы в вещи, которая окружает его границы, и то, что не может существовать, есть то, что не имеет пределов.

103 К. 62 (14).

Петр имеет силу в 12 [единиц], и, если ему дано 12 [единиц] веса, он их не движет, потому что равные между собою вещи не одолевают одна другую. Но 11 он понесет, потому что из неравных сил бóльшая одолевает меньшую, так что 12 будут двигать 11. И здесь имеет место замечательный случай, а именно: если эти 12 могут двигать 11, оказывается, что эти 12 будут двигать тяжесть бесконечно бóльшую 11, потому что всякая непрерывная величина делима до бесконечности. Единица между 11 и 12 может бесконечно делиться, ибо можно сказать, 12 способно двигать 11 и будет еще двигать 111⁄2, и затем 2/3, и затем 113⁄4, и так до бесконечности может в том же порядке возрастать, деля на новые части остаток, так что последним будет тот из наименьших грузов, которого он не сможет более нести, то есть тот, который дополняет до 12. Так что здесь выходят две вещи, которые, казалось, невозможно предположить, а именно что человек будет в силах нести на себе груза бесконечно больше, чем может нести, и что минимальный груз выше того, который он нести может, будет тот, который он нести не может. Пример: 4 на весах уравновешивают 4, но двигать не могут; однако с успехом будут они двигать 3 и бесконечно больше груза, чем три, но груз равный 4 никогда, потому что от 3 к 4 одна единица, которая непрерывна, а всякая непрерывная величина делима до бесконечности.

Бесконечно большую 11 – точнее: бесконечное число тяжестей, бóльших 11. Рассуждение упирается, таким образом, по Леонардо, в противоречие: в пределах 12 мы имеем бесконечный ряд тяжестей, которые Петр может нести. Поэтому, какой бы груз больше 11, но меньше 12 ни взять, всегда за ним окажется еще целый бесконечный ряд грузов, которые Петр также может нести, иными словами, за грузом, который он может нести, всегда находится другой, который он также может нести, а вместе с тем должен наконец найтись и такой, который он уже нести не сможет, т. е. 12. В этом отрывке – отражение схоластических споров, логически разрабатывавших основные понятия теории пределов. Вопрос заключается в том, чем измеряется сила – максимумом ли того, что она может (maximum in quod sic), или минимумом того, что она не может (minimum in quod nоn). В данном примере: сила Петра измеряется ли самым большим камнем, который он может поднять, или самым малым, который он уже поднять не может? Аргументация сводилась к следующему: в случае сопротивления, равного действующей силе, имеет место minimum in quod nоn; этот минимум является, следовательно, величиной постоянной, тогда как вместо maximum in quod sic мы имеем переменную величину, бесконечно приближающуюся к своему пределу, т. е. к этому самому minimum in quod nоn. Такой точки зрения держались Альберт Саксонский, Биаджо Пелакани (которого читал Леонардо), Павел Веницейский («Сумма» которого была широко распространена в Северной Италии в XV–XVI в.) и др. К концу XV и началу XVI в., когда сильная гуманистическая реакция против схоластики давала свои плоды, вкус к этим дистинкциям был потерян и теории эти привлекали все меньшее внимание. Леонардо обнаруживает близкое с ними знакомство. История вопроса подробно изучена Дюэмом, показавшим, как схоластические дистинкции, являющиеся своего рода «работой на холостом ходу», в новых условиях получили дальнейшее развитие и плодотворный смысл.

О движении естественном и насильственном

Отрывки 104—109 позволяют судить об отношении Леонардо к различным теориям т. н. «естественного движения», т. е. движения тяжелых тел к «центру мира» и «легких» – от центра.Отрывок 110 переходит к движению «насильственному», т. е. движению под влиянием внешнего воздействия, и подводит нас к играющей огромную роль в механике Леонардо проблеме передачи силы (движения), находящей разрешение в его концепции impeto (передаваемого в нашем тексте словом «импульс»). Определение impeto дается в отрывке 111, оно уточняется в 112-м, конец которого показывает, что для Леонардо проблема сохранения движущим телом сообщенного ему движения была частью более общей проблемы сохранения воздействий, «впечатлений», «образов» и т. п. (ср. 113—114).В свете теории impeto разрешается и вопрос о том, известен ли был Леонардо закон инерции. Второе определение impeto, которое дается в отрывке 115, и определение силы, являющейся в данном случае синонимом impeto (116—117), в этом отношении особенно существенны: тело движется в меру запаса ему присущего импульса. (Отр. 118 является в известном смысле пояснением к предшествующему.) Но отр. 119 дает совершенно определенный утвердительный ответ на вопрос о законе инерции. «Вещи стремятся пребывать в своем естестве» (120) – другая формулировка того же закона. И в том же контексте Леонардо приближается к закону сохранения силы или работы (120—127).В отрывках 128—130 «сила» ставится в связь с другими элементами «насильственности»: движением, ударом и тяжестью, определение которой дается в отр. 131—132. В сопоставлении с отр. 132 должен быть понимаем и отр. 133, где понятие о тяжести, рождающейся от перехода одной стихии в другую, иллюстрируется примером воды, которая проливается на землю под влиянием необходимости (тяжести) и влечется вверх «могуществом солнца».

104 G. 75 r.