Закат Европы - Освальд Шпенглер

После Диофанта, который до себя уже предполагает известное развитие, магическая математика, алгебра, хотя нам неизвестны подробности, развивалась логически и в главных чертах – до завершения, в эпоху Аббасидов IX столетия, как показывает уровень знания у Альхварижди и Альсиджи. Тогда лишь начинается, снова спустя полтысячелетия, в новой, отдаленной стране великий процесс перетолкования этого магического, переданного нам испанскими арабами мира чисел в функциональный мир Западной Европы; начинается могучая борьба против внедряющегося чуждого мироощущения, с его внутренне законченным истолкованием пространства, которое должна была отразить и сломить юная готическая душа, чтоб не дать погибнуть своей собственной сущности; отсюда – скрытая борьба во всех произведениях архитектуры, каждом фасаде, каждом орнаменте, каждом символе, в каждой метафизической и математической проблеме; глухое величие этой борьбы никогда еще не было почувствовано.

Чем была Эвклидова геометрия в отношении к античной пластике – тот же язык форм, но в другом одеянии, – чем был анализ пространства в отношении к стилю фуги инструментальной музыки, тем же была эта алгебра в отношении к магическому искусству мозаики, к все богаче развивающимся арабескам начиная с эпохи Сасанидов и позднее Византии, с их чувственно-нечувственным претворением органического мотива форм горельефа Константиновского стиля, с его свободно выполненными фигурами на фоне глубокого сумрака заднего плана. Как алгебра относится к античной арифметике и западноевропейскому анализу, так же относится увенчанная куполом базилика к дорическому храму и готическому собору.

Нельзя сказать, чтобы Диофант был великим математиком. Самое важное, что связано с его именем, не написано в его работах, а то, что в них написано, вероятно, не вполне оригинально. Его случайное значение состоит в том, что – насколько мы знаем – он был первым, несомненно обладавшим новым чувством числа. В противоположность великим мыслителям, замыкающим известную математику, как Аполлоний и Архимед – античную и соответственно им Гаусс, Коши и Риман – западноевропейскую, мы встречаемся у Диофанта и Менелая с чем-то примитивным, что до сих пор охотно называлось декадансом. В будущем научатся понимать и оценивать этот декаданс в духе той переоценки, которую следует сделать в отношении к так называемому позднеантичному искусству, рассматривая его как ощупью идущее проявление только что пробуждающегося раннеарабского мироощущения. Впечатление такой же примитивной, архаичной и полной искания науки производит математика Николая Орема, епископа в Лизье (1323–1382), впервые применившего некоторое подобие координат и даже дробные показатели степеней, а это предполагает, еще неясно, но уже несомненно, такое чувство числа, которое оказывается совершенно неантичным, но в то же время и не арабским. Если рядом с Диофантом вспомнить о раннехристианском саркофаге римских коллекций и, рядом с Оремом, о готических одетых статуях немецкого собора, то можно заметить что-то родственное и в ходе математической мысли, представляющей у обоих математиков одну и ту же раннюю ступень интеллекта. Совершенно утратилось стереометрическое чувство границы в его последней утонченности и элегантности. Все было настроено глухо, томительно, мистично, а не аттически светло и свободно. В центре стоял из земли рожденный, первобытный человек, а не человек великих городов, подобно Эвклиду и Да-ламберу. Уже не понимались больше глубокие и сложные образы античного мышления, их заменили спутанные, новые, ясное интеллектуально-городское рассмотрение которых еще не было найдено. Это – готическое состояние всех молодых культур; оно было пройдено и античным миром в его раннедорическое время, от которого ничего не осталось, кроме погребальных урн дипилонского стиля. Только в Багдаде, в IX и X веках, концепции эпохи Диофанта были проведены и закончены зрелыми умами, не уступавшими Платону и Гауссу.

Решающее значение Декарта, геометрия которого появляется в 1637 году, состоит вовсе не в введении новой методы или наглядности в область традиционной геометрии, как это постоянно высказывается, но в окончательной новой числовой концепции, новой идее числа, которая выразилась в полном освобождении геометрии от наглядной осязательной конструкции, от измеренных и измеримых отрезков. Этим самым анализ бесконечно малых стал фактом. Застывшая так называемая картезианская система координат – идеальный представитель измеримых величин в полуэвклидовском смысле, – которая в предшествующий период, у Орема например, приобрела уже некоторое значение, была Декартом не завершена, но преодолена, если проникнуть в глубину его рассмотрений. Современник Декарта, Ферма, был ее последним классическим представителем.

На место чувственного элемента конкретного отрезка и плоскости – специфического выражения античного чувства границы – стал абстрактно-пространственный, не античный элемент точки, который с тех пор характеризуется как группа соподчиненных чистых чисел. Декарт разрушил литературно унаследованное понятие величины, чувственного измерения и заменил его переменным значением отношений положения в пространстве. Что это было устранением геометрии вообще, которая с тех пор, в числовом мире анализа, стала влачить жалкое существование, подернутое дымкой античных воспоминаний, – это совершенно упустили из виду. Слово «геометрия» имеет неустранимый аполлоновский смысл. Начиная с Декарта мнимо «новая геометрия» оказывается или синтетическим процессом, который определяет посредством чисел положения точек уже не только в трехмерном пространстве («точечные множества»), или аналитическим, который определяет числа посредством положения точек. Заменить отрезки положениями – значит рассматривать понятие протяжения чисто пространственно, а не телесно.

Классическим примером этого разрушения унаследованной геометрии наглядного и конечного представляется мне обращение угловых (тригонометрических) функций – они были в едва доступном для нас смысле числами индийской математики – в функции циклометрические (круговые) и дальнейшее их разложение в ряды, которые в бесконечном царстве чисел алгебраического анализа утратили всякое воспоминание о геометрических образованиях эвклидовского стиля. Число я и основание натуральных логарифмов число е, всюду всплывая в этой области чисел, порождают отношения, которые стирают все границы прежней геометрии, тригонометрии, алгебры, которые не имеют ни геометрической, ни арифметической природы, ибо здесь никто уже не думает о действительно нарисованных кругах или вычисляемых степенях.

В то время как античная душа благодаря Пифагору в 540 году приходит к концепции своего собственного аполлоновского числа, душа Запада в точно соответственное время нашла благодаря Декарту и его поколению (Паскаль, Ферма, Дезарг) идею числа, которая родилась из фаустовской страсти к бесконечному. Число как чистая величина, которое приурочено к предметной действительности отдельных вещей, находит свою противоположность в числе как чистом отношении. Если античный мир, космос, определяется глубокой потребностью в видимой ограниченности как исчислимой суммы материальных вещей, то наше мироощущение воплощается в картине бесконечного мира, в котором все видимое воспринимается как нечто обусловленное в противоположность безусловному, как действительность второго сорта. Его символом является основное понятие функции, никакой другой культуре неизвестное. Функция – это ни в каком случае не расширение какого-нибудь прежнего понятия числа; она его полное преодоление. Не только Эвклидова, то есть общечеловеческая, популярная геометрия, но и архимедовская область элементарного счисления, арифметика, перестает существовать в математике, действительно важной для Западной Европы; здесь может иметь место только абстрактный анализ. Для античного человека геометрия и арифметика были науками огромного значения; они обе наглядны, обе в счете или чертеже оперируют с величинами; для нас они только практические средства обыденной жизни. Сложение и умножение, оба античных метода счисления величин, совершенно исчезают в бесконечности функционального процесса. Степень, которая сначала является только числовым знаком определенной группы умножения (для множителей одной и той же величины), совершенно освобождается от понятия величины посредством нового символа показателя (логарифма) и его применения к комплексным, отрицательным, дробным формам и переводится в трансцендентный мир отношений, который был бы совершенно чужд грекам, знавшим только две положительные целые степени, представляющие площади и тела (следует вспомнить о выражениях, подобных).

Каждое из глубоких творений, которые со времен Возрождения быстро следуют одно за другим, как: мнимые и комплексные числа, которые введены Карданом еще в 1550 году; бесконечные ряды, теоретически обоснованные Ньютоном после его великого открытия бинома в 1666 году; логарифмы в 1610 году; дифференциальная геометрия; определенный интеграл Лейбница; множество как новое числовое единство, уже намеченное Декартом; новые действия, как то: неопределенные интегралы, разложение функций в ряды и даже бесконечные ряды других функций, – каждое из этих открытий является также победой над популярно-наглядным чувством числа, которое должно было быть преодолено духом новой математики, осуществлявшей новое мироощущение. Не было другой культуры, которая наследию старой, давно угасшей культуры воздавала бы столько почестей и допускала бы с ее стороны столько влияния, сколько западноевропейская по отношению к культуре античной. Много прошло времени, прежде чем мы нашли в себе мужество думать свои думы. В основе лежало постоянное желание подражать античному. Тем не менее всякий шаг вперед был фактическим удалением от поставленного идеала. Поэтому история западноевропейского знания – это растущая эмансипация от чуждого, история освобождения, которого вовсе не хотели, но которое вынуждалось глубинами бессознательного. Так развитие новой математики принимает вид скрытой, долгой, наконец, победоносной войны против понятия величины.