Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко

добавить, что при умножении на ноль — как на поглощающий элемент для этой операции — мы полностью теряем информацию о втором множителе, подобно тому, как тень на стене не содержит полной информации о форме или цвете трехмерного объекта, отбрасывающего ее. Так что произвести операцию, обратную умножению, то есть деление, у нас в этом случае не получится.

Но можно ведь искусственно дополнить множество чисел специальными элементами — делителями нуля. Дополнили же когда-то множество рациональных чисел, привычных нам дробей, иррациональными, такими как √2, — чтобы можно было рассуждать о длине диагонали единичного квадрата или возведении в рациональные степени. Более того, в шестом классе, когда мы эти корни вводили, нас учили, что квадратный корень из отрицательного числа взять невозможно. Но потом, в десятом классе, множество вещественных чисел расширили до комплексных, дополнив его мнимой единицей. И вот, пожалуйста, невозможное стало возможным. Так в чем проблема с делением на ноль?

Дело в том, что и рациональные, и вещественные, и комплексные числа построены так, что все они образуют поля, при этом вся арифметика в них согласована. Но если искусственно ввести нетривиальные делители нуля, то получится иная арифметика, своеобразная и не согласующаяся с привычной нам со школы алгеброй полей. Алгебраическая структура, на которой определены сложение и умножение, а также своеобразное деление для всех элементов, включая ноль, называется колесом[20]. И деление в этой структуре определяется не как бинарная операция x/y, обратная умножению, а как унарный оператор /y, подобный y–1. Таким образом, деление определяется как произведение x∙/y. Кроме того, алгебраическая система дополняется символами /0 и 0/0, которые иногда обозначаются как ∞ и ⊥. Они имеют особенные свойства и не равны ни одному другому элементу системы.

Непротиворечивая система аксиом колеса кроме коммутативности, ассоциативности сложения с умножением содержит следующие правила:

0∙0 = 0

//x = x

/(xy) = /y/x

xz + yz = (x + y)z + 0z

(x + yz)/y = x/y + z + 0y

(x + 0y)z = xz + 0y

/(x + 0y) = /x + 0y

0/0 + x = 0/0

Из этих аксиом неизбежно следует, что в общем случае:

0x ≠ 0, x — x ≠ 0, x/x ≠ 1

Увы, групповые свойства сложения в такой системе нарушаются, поскольку не для всех элементов x выполняется тождество x + 0 = x.

Так что «просто добавить» делители нуля и обратный ему элемент не получится, нужно перестраивать всю систему ради ее непротиворечивости. Подобные трудности возникнут и при попытке искусственно ввести вторую мнимую единицу: согласованную алгебру с двумя единицами создать не получится, а вот с тремя все работает. Так строится кольцо кватернионов. Они широко используются для моделирования вращений в трехмерном пространстве, например в компьютерных играх и симуляциях реальности. Увеличивая число дополнительных мнимых единиц, мы в следующий раз получим «хорошую» самосогласованную алгебру, когда их будет семь; она называется алгеброй октонионов. На нее возлагаются надежды как на способ соединить квантовую теорию и гравитацию, получив «священный Грааль» физики: Теорию Всего. А больше можно? Формально да: при 15 дополнительных единицах строится алгебра седенионов. И — о чудо! — в алгебре седенионов уже есть нетривиальные делители нуля, но сама она, похоже, теряет ценность как алгебраическая система! Так что мы не можем просто придумать что-то новое в математике, если оно как-то не согласуется с существующими, повсеместно используемыми понятиями. Допустимо построить непротиворечивую систему, изучить ее свойства и пользоваться ими для моделирования либо реального мира, либо других систем.

Вернемся к мере. Ее неотрицательность необходима, иначе можно нарушить третье из свойств мер, перечисленных выше: «Мера подмножества не превышает меры множества» (вклад штата Калифорния превысил общий рост по всей стране). Кроме того, при этом теряется польза от аддитивности и становится затруднительно вычислить меру для объединения подмножеств; таким образом, само это понятие теряет свою полезность. Число рабочих мест — полноценная мера (как количественная характеристика конечного множества), а вот рост числа рабочих мест — нет, это уже изменение меры.

Может возникнуть вопрос: а каков же на самом деле был вклад правительства штата Висконсин в борьбу с безработицей? Он имеет смысл, поскольку если бы не было этого вклада, то общий результат по стране был бы заметно меньшим. Корректно ответить несложно. Мы можем рассматривать как меру отдельно положительные и отрицательные вклады и таким образом говорить о том, что Висконсин предоставил 27 % от общего числа новых рабочих мест (результат простого суммирования всех новых работников по стране). В свою очередь, из всех новых безработных 23 % пришлось на жителей штата Миссури.

Измеряем нашу доверчивость

Вернемся к статистике. Из множества разнообразных ее задач мы рассмотрим здесь только одну: проверку статистических гипотез. Для тех, кто уже связал свою жизнь с естественными или социальными науками, в этих примерах не будет чего-то ошеломительно нового. Но это хорошая задача, показывающая ход математической мысли и не уводящая в дебри технических деталей.

Предположим, мы многократно измеряем случайную величину X, имеющую среднее значение μ и стандартное отклонение σ. Согласно центральной предельной теореме, распределение наблюдаемого среднего значения будет близким к нормальному. Из закона больших чисел следует, что его среднее будет стремиться к μ, а из свойств нормального распределения — что после n измерений наблюдаемая дисперсия среднего будет уменьшаться как σ/√n. Стандартное отклонение можно рассматривать как абсолютную погрешность измерения среднего, относительная погрешность при этом будет равна δ = σ/(μ√n). Это общие выводы, не зависящие для достаточно больших значений n от конкретной формы распределения случайной величины X. Из них следуют два полезных правила (не закона).

1. Минимальное число испытаний n должно диктоваться желаемой относительной погрешностью δ. При этом если

то вероятность того, что наблюдаемое среднее останется в пределах заданной погрешности, будет не менее 95 %. При μ, близком к нулю, относительную погрешность лучше заменить на абсолютную.

2. Пусть нулевой гипотезой будет предположение, что