Апология математики, или О математике как части духовной культуры - Владимир Успенский

А теперь посмотрим на тор. Тор — эта та геометрическая фигура, форму которой имеют баранка и спасательный круг. Энциклопедия определяет тор как фигуру, полученную вращением круга вокруг оси, расположенной вне этого круга. Призываем благосклонного читателя осознать, что шар и куб «более одинаковы» между собой, чем каждый из них с тором. Наполнить это интуитивное осознание точным смыслом позволяет следующий мысленный эксперимент. Представим себе шар сделанным из материала столь податливого, что его можно изгибать, растягивать, сжимать и, вообще, деформировать как угодно, — нельзя только ни разрывать, ни склеивать. Очевидно, что шар тогда можно превратить в куб, но вот в тор превратить невозможно. Толковый словарь Ушакова определяет крендель как выпечку (буквально: как сдобную витую булку) в форме буквы В. При всём уважении к этому замечательному словарю, слова «в форме цифры 8» кажутся мне более точными; впрочем, с той точки зрения, которая выражена в понятии гомеоморфии, и выпечка в форме цифры 8, и выпечка в форме буквы В, и выпечка в форме фиты имеют одну и ту же форму. Даже если предположить, что хлебопёки сумели получить тесто, обладающее вышеуказанными свойствами податливости, колобок невозможно — без разрывов и склеиваний! — превратить ни в баранку, ни в крендель, как и последние две выпечки друг в друга. А вот превратить шарообразный колобок в куб или в пирамиду — можно. Любезный читатель несомненно сумеет найти и такую возможную форму выпечки, в которую нельзя превратить ни колобок, ни крендель, ни баранку.

Не назвав этого понятия, мы уже познакомились с гомеоморфией. Две фигуры называются гомеоморфными, если одну можно превратить в другую путём непрерывной (т. е. без разрывов и склеиваний) деформации; сами такие деформации называются гомеоморфизмами. Мы только что выяснили, что шар гомеоморфен кубу и пирамиде, но не гомеоморфен ни тору, ни кренделю, а последние два тела не гомеоморфны между собой. Просим читателя понимать, что мы привели лишь приблизительное описание понятия гомеоморфии, данное в терминах механического преобразования.

Коснёмся философского аспекта понятия гомеоморфии. Представим себе мыслящее существо, живущее внутри какой-либо геометрической фигуры и не обладающее возможностью посмотреть на эту фигуру извне, «со стороны». Для него фигура, в которой оно живёт, образует Вселенную. Представим себе также, что когда объемлющая фигура подвергается непрерывной деформации, существо деформируется вместе с нею. Если фигура, о которой идёт речь, является шаром, то существо никаким способом не может различить, пребывает ли оно в шаре, в кубе или в пирамиде. Однако для него не исключена возможность убедиться, что его Вселенная не имеет формы тора или кренделя. Вообще, существо может установить форму окружающего его пространства лишь с точностью до гомеоморфии, то есть оно не в состоянии отличить одну форму от другой, коль скоро эти формы гомеоморфны.

Для математики значение гипотезы Пуанкаре, превратившейся теперь из гипотезы в теорему Пуанкаре — Перельмана, огромно (не зря ведь за решение проблемы был предложен миллион долларов), равно как огромно и значение найденного Перельманом способа её доказательства, но объяснить это значение здесь — вне нашего умения. Что же касается космологической стороны дела, то, возможно, значимость этого аспекта была несколько преувеличена журналистами. Впрочем, некоторые авторитетные специалисты заявляют, что осуществлённый Перельманом научный прорыв может помочь в исследовании процессов формирования чёрных дыр.

Чёрные дыры, кстати, служат прямым опровержением положения о познаваемости мира — одного из центральных положений того самого передового, единственно верного и всесильного учения, которое 70 лет насильственно вдалбливалось в наши бедные головы. Ведь, как учит физика, никакие сигналы из этих дыр не могут к нам поступать в принципе, так что узнать, что там происходит, невозможно. О том, как устроена наша Вселенная в целом, мы вообще знаем очень мало, и сомнительно, что когда-нибудь узнаем. Да и сам смысл вопроса о её устройстве не вполне ясен. Не исключено, что этот вопрос относится к числу тех, на которые, согласно учению Будды, не существует ответа. Физика предлагает лишь модели устройства, более или менее согласующиеся с известными фактами. При этом физика, как правило, пользуется уже разработанными заготовками, предоставляемыми ей математикой.

Математика не претендует, разумеется, на то, чтобы установить какие бы то ни было геометрические свойства Вселенной. Но она позволяет осмыслить те свойства, которые открыты другими науками. Более того. Она позволяет сделать более понятными некоторые такие свойства, которые трудно себе вообразить, она объясняет, как такое может быть. К числу таких возможных (подчеркнём: всего лишь возможных!) свойств относятся конечность Вселенной и её неориентируемость.

Долгое время единственной мыслимой моделью геометрического строения Вселенной служило трёхмерное евклидово пространство, то есть то пространство, которое известно всем и каждому из средней школы. Это пространство бесконечно; казалось, что никакие другие представления и невозможны; помыслить о конечности Вселенной казалось безумием. Однако ныне представление о конечности Вселенной не менее законно, чем представление о её бесконечности. В частности, конечна трёхмерная сфера. От общения с физиками у меня осталось впечатление, что одни отвечают «скорее всего, Вселенная бесконечна», другие же — «скорее всего, Вселенная конечна».

Ниже мы попытаемся объяснить теоретическую возможность конечности Вселенной. Пока что заметим лишь, что конечность Вселенной не означает наличие у неё края, «стены». Ведь само по себе отсутствие у геометрической фигуры конца и края ещё не означает её бесконечности. Поверхность нашей планеты, например, конечна, но края у неё нет. В детстве я, как и другие, наслаждался старинной картинкой, на которой был изображён монах, дошедший до Края Земли и просунувший голову сквозь небесный свод. Ещё более, чем упомянутая картинка, детское воображение увлекала модная гипотеза (потом она как-то заглохла), что некие две далёкие туманности, наблюдаемые с Земли в противоположных концах небосвода, являются на самом деле не различными астрономическими объектами, а одним и тем же объектом, видимым с разных сторон. Если бы это подтвердилось, это было бы доказательством конечности Вселенной. Вот три мысленных эксперимента, способные засвидетельствовать указанную конечность, если она действительно имеет место. Первый: экспериментатор отправляется в космическое путешествие и, двигаясь всё время в одну сторону, возвращается в исходную точку. Второй: обнаруживается окружность, длина которой меньше той, которую сообщают нам в школе, то есть меньше двух пи, помноженных на длину радиуса. Третий (предложен Эйнштейном): экспериментатор окружает себя сферой, сделанной из прочной и неограниченно растягивающейся плёнки, и начинает эту сферу раздувать; площадь поверхности сферы сперва будет возрастать, но начиная с некоторого момента — уменьшаться, а в итоге вся сфера стянется в точку — при том, что экспериментатор остаётся внутри сферы.

Чтобы понять, как такое возможно, надо напрячь воображение, а затем рассуждать по аналогии.

Вообразим себе обычную двумерную сферу, населённую двумерными же существами; их принято называть флатландцами. Мы с вами живём на сфере (на поверхности Земли), флатландцы же пребывают в теле сферы, в её «толще»; эта «толща», конечно, не имеет толщины, но ведь и флатландцы её не имеют. Органы чувств не позволяют флатландцам ощутить что-нибудь вне пределов этой сферы, которая для них составляет Вселенную. Сфера большая, а двумерные жители обитают на небольшом её участке и — внимание! — полагают, что их Вселенная представляет собою двумерное евклидово пространство, то есть плоскость. Посмотрим, что может поколебать их в этом убеждении. Если считать, что флатландцы умеют видеть чрезвычайно далеко, то удалённый от них объект они видят с двух сторон: ведь в их Вселенной луч света идёт по сфере, огибая её. Космический путешественник, двигающийся всё время в одну сторону, возвращается, обогнув сферу, в исходную точку. Радиус окружности двумерные существа проводят по сфере, и его длина оказывается больше радиуса той же окружности, проведённого в недоступном им «внешнем» пространстве, — а потому длина окружности окажется меньшей, нежели та, которая вычисляется через «фатландский радиус» по нашей школьной формуле. Посмотрим теперь, что произойдёт, если двумерный экспериментатор окружит себя канцелярской резинкой, способной неограниченно растягиваться, придаст ей форму окружности и станет увеличивать радиус этой окружности. Сперва длина окружности будет возрастать, а после прохождения через «экватор» уменьшаться и в итоге уменьшится до нуля.