4a. Кинетика. Теплота. Звук - Ричард Фейнман
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
В качестве упражнения предлагаем читателю найти ряд Фурье для функции, показанной на фиг. 50.3.
Фиг. 50.3. Ступенчатая функция. f(t)=+1 для 0<t<T/2 ,
f(t)=-1 для T/2<t<T.
Поскольку эту функцию нельзя записать в точной алгебраической форме, то брать интеграл от 0 до Т обычным способом невозможно. Однако если разделить его на две части: по интервалу от 0 до T/2 [на котором функция f(t)=1] и по интервалу от T/2 до T [на котором f(t) -1], то интеграл легко берется. В результате должно получиться
где w=2p/T. Таким образом, оказывается, что для нашей ступенчатой волны (со специально выбранной фазой) будут только нечетные гармоники, причем их амплитуды обратно пропорциональны частотам.
Давайте проверим, что для некоторого значения t результат (50.19) действительно дает снова f(t). Возьмем f = T/4или wt=p/2. Тогда
Сумма этого ряда равна p/4, а, стало быть, f(T)=1 .
§ 5. Теорема об энергии
Энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды.
Для сложной волны энергия за один период пропорциональна m
Эту энергию можно связать с коэффициентами Фурье.
Напишем
После раскрытия квадрата в правой части мы получим сумму всевозможных перекрестных членов типа a5cos5wtb7cos7wt. Однако выше мы уже показали [уравнения (50.11) и (50.12)], что интегралы от всех таких членов по одному периоду равны нулю, так что останутся только квадратные члены, подобные a25cos25wt. Интеграл от любого квадрата косинуса или синуса по одному периоду равен Т/2, так что получаем
Это уравнение называют «теоремой об энергии», которая говорит, что полная энергия волны равна просто сумме энергий всех ее фурье-компонент. Применяя, например, эту теорему к ряду (50.19), мы получаем
поскольку [f(t)]2=1. Таким образом мы узнали, что сумма квадратов обратных нечетных чисел равна p2/8. Точно так же, выписав сначала ряд Фурье для функции и используя затем теорему об энергии, можно доказать результат, понадобившийся нам в гл. 45, т. е. что 1+1/24+1/34+... равно p4/90.
§ 6. Нелинейная реакция
Наконец, в теории гармоник есть одно очень важное явление, которое необходимо отметить, учитывая его практическую важность, но это уже относится к области нелинейных эффектов. Во всех рассмотренных нами до сих пор системах все предполагалось линейным; реакция на действие силы, например перемещение или ускорение, всегда была пропорциональна силам. Токи в электрической цепи были тоже пропорциональны напряжениям и т. д. Теперь мы хотим рассмотреть случаи, когда строгая пропорциональность отсутствует. Представим на минуту устройство, реакция которого xвыход=xвых в момент t определяется внешним воздействием xвход = xвх в тот же момент t.
Например, xвх может быть силой, а хвых— перемещением, или хвх— ток, а xвых— напряжение. Если бы устройство было линейное, то мы бы получили
xвых(t)=Kxвх(t), (50.24)
где К — постоянная, не зависящая ни от t, ни от хек. Предположим, однако, что устройство только приблизительно линейное, т. е. на самом деле нужно писать
xвых(t)=K[xвх(t)+ex2вх(t)]. (50.25)
где e мало по сравнению с единицей. Такие линейная и нелинейная реакции показаны на фиг. 50.4.
Фиг. 50.4. Реакции, а — линейная,
xвых=kxвх; б—нелинейная, xвых =k(хвх+ex2вх).
Нелинейная реакция приводит к нескольким важным практическим следствиям. Некоторые из них мы сейчас обсудим. Посмотрим сначала, что получается, если пропустить через подобное устройство «чистый» тон. Пусть xвх=coswt. Если мы построим график зависимости xвых от времени, то получим сплошную кривую, показанную на фиг. 50.5.
Фиг. 50.5. Реакция нелинейного устройства на входящий сигнал coswt.
Для сравнения показана линейная реакция.
Для сравнения там же проведена пунктирная кривая, представляющая реакцию линейной системы. Мы видим, что на выходе получается уже не косинусообразная функция. Она более острая в вершине и более плоская в основании. Поэтому мы говорим, что выходной сигнал искажен. Однако, как известно, такая волна не будет уже чистым тоном, а приобретает какие-то высшие гармоники Можно найти эти гармоники. Подставляя xвх=coswt в уравнение (50.25), получаем
хвых=К(coswt+ecos2wt). (50.26) Используя равенство cos2q = 1/2(l-cos2q), находим
xвых=K(coswt+ e/2-e/2cos2wt) . (50.27)
Таким образом, в выходящей волне присутствует не только основная компонента, которая была во входящей волне, но и некоторая доля второй гармоники. Кроме того, в выходящей волне появился постоянный член К(e/2), который соответствует сдвигу среднего значения, показанному на фиг. 50.5. Эффект возникновения сдвига среднего значения называется выпрямлением. Нелинейное устройство будет выпрямлять и давать на выходе высшие гармоники. Хотя предположенная нами нелинейность только добавляет вторую гармонику, нелинейность высшего
порядка, например х3вхили x4вх, даст уже более высокие гармоники.
Другим результатом нелинейной реакции является модуляция. Если входящая функция содержит два (или больше) чистых тона, то на выходе получатся не только их гармоники, но и другие частотные компоненты. Пусть хвх=Аcosw1t+Bcosw2t, причем w1 и w2 не находятся в рациональном отношении друг к другу. Тогда в дополнение к линейному члену (равному произведению К на входящую волну) на выходе мы получим
xвых=Ke(Acosw1t+Bcosw2t)2, (50.28)
хвых=Кe(А2cos2w1t+В2cos2w2t+2AB cosw1tcosw2t). (50.29)
Первые два члена в скобках уравнения (50.29) — старые знакомые. Они дают нулевую и вторую гармоники, но последний член — это уже нечто новое.
На этот новый «перекрестный член» АВcosw1tcosw2t можно смотреть с двух сторон. Во-первых, если две частоты сильно отличаются друг от друга (например, w1 много больше w2), то мы можем считать, что перекрестный член представляет косинусообразные колебания с переменной амплитудой. Я имею в виду такую запись:
АВ cosw1tcosw2t=C(t)cosw1t, (50.30)
где
С(t)=АВсоsw2t. (50.31)
Мы говорим, что амплитуда колебаний cosw1 модулируется с частотой w2.
Во-вторых, этот же перекрестный член можно рассматривать с другой точки зрения:
ABcosw1tcosw2t= AB/2[cos (w1-w2) t+cos(w1 -+w2) t], (50.32)
т. е. можно сказать, что возникают две новые компоненты, одна из которых равна сумме частот w1+w2, а другая — разности
Таким образом, существуют два различных, но эквивалентных способа толкования одного и того же явления. В предельном случае w1>>w2 можно связать эти две различные точки зрения, заметив, что поскольку (w1+w2) и (w1-w2) близки друг к другу, то между ними должны наблюдаться биения. Но эти биения дают в результате модуляцию амплитуды колебаний со средней частотой w1, половинкой разности частот 2w2. Теперь вы видите, почему эти два описания эквивалентны.
Итак, мы обнаружили, что нелинейная реакция дает несколько эффектов: выпрямление, возникновение гармоник и модуляцию, т. е. возникновение компонент с суммой и разностью частот.
