Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - Josep Carrera

Для математика не так важен онтологический аспект («что это?»), сколько методологический («как это работает?»). Следовательно, его интересует, одинаковы два соотношения, или одно больше другого, даже если ему и не совсем ясно, что такое, собственно, соотношение. Именно об этом говорится в определениях 5, 6 и 7.

Определение 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

Определение 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными.

Определение 7. Если же из равнократных кратное первой превышает кратное второй, а кратное третьей не превышает кратного четвертой, то говорят, что первая ко второй имеет большее отношение, чем третья к четвертой.

Возьмем две пары однородных величин: А — В и Г — Δ (термин «однородные» нигде не объясняется, но очевидно, что имеются в виду две поверхности, два числа, два тела и так далее; напротив, линия, число и тело будут неоднородными величинами). Каждая пара образует соотношение, которое мы запишем как

А/B и Г/Δ.

Возникает вопрос: в каком случае мы можем сказать, что

А/B = Г/Δ, а когда А/B > Г/Δ ?

Теперь возьмем два произвольных множителя: множитель т для А и Г и n для В и А. При этом m х А и n х В — однородные величины, значит, их можно сравнивать; то же верно и для m х Г и n х Δ.

Следовательно, каково бы ни было значение множителей тип, каждый раз, когда мы имеем

то имеем и

То есть А/B = Г/Δ

Если же у нас такая пара множителей при которых

m х A > n х B, но m х Г < n х Δ,то

А/B > Г/Δ

Из-за чего Евклиду понадобилось такое сложное определение? Из-за несоизмеримости. Рассмотрим одно и то же предложение в двух разных случаях: в первом отрезки будут соизмеримы, а во втором — нет.

Книга VI, предложение 1. Треугольники и параллелограммы, имеющие одинаковую высоту, относятся друг к другу как их основания.

Рассмотрим доказательство этого предложения в случае соизмеримости. Если основания двух треугольников соизмеримы, то мы можем использовать общий измеритель для того, чтобы разложить их на равновеликие треугольники методом танграма (см. рисунок).

Если АВ и ΓΔ являются соизмеримыми основаниями двух треугольников, заключенных между одними и теми же параллельными, то существует общий отрезок LM, который делит основание АВ на т количество частей и основание ΓΔ — на п количество частей. Если мы соединим точки концов каждого из т отрезков, на которые LM делит основание АВ с вершиной С, и точки концов каждого из п отрезков, на которые LM делит основание ΓΔ с вершиной Е, то получим, соответственно, тип количество треугольников, равновеликих треугольнику LMN, где N — любая точка, взятая на прямой СЕ, параллельной А. Следовательно, АВС = m х (LMN), ΔΓΕ = m х (LMN). То есть

АВ/ΔΓ = (m х LM)/(n х LM) = (m х (ΔLMN))/(n х (ΔLMN)) =  ΔABC/ΔAГ.

РИС. 3

РИС. 4

Но если отрезки АВ и ΓΔ взяты произвольно, мы не можем знать, соизмеримы ли они. Действительно, любой отрезок имеет гораздо больше несоизмеримых ему отрезков, чем соизмеримых. Таким образом, доказательство, изложенное выше, является не общим, а, напротив, сугубо частным случаем. Рассмотрим теперь общее доказательство. Оно будет основано на следующей идее: если метод танграма нельзя применить внутри фигуры, это не значит, что его нельзя применить вне ее. Вместо того чтобы строить общий треугольник и помещать его в каждый из заданных, построим отрезки, равные каждому основанию, и соединим получившиеся точки с вершиной, как показано на рисунке 3. Таким образом, мы получим треугольники, кратные тип раз заданным:

ΔΑ"CΒ = m x (ΔΑCΒ), ΔΝ'" РМ = n x (ΔΝΡΜ).

Не нужно верить никаким предсказаниям, сделанным по гороскопам, основанным на дате рождения. Влияние звезд настолько трудно рассчитать, что на Земле нет никого, кто мог бы это сделать.

Евдокс

Теперь мы должны только убедиться, что из двух треугольников, заключенных между двумя параллельными прямыми (то есть одинаковой высоты), большая площадь — у того, у которого большее основание. Ответ, разумеется, утвердительный (см. рисунок 4). Основание АВ меньше основания ΓΔ. Следовательно, мы можем отложить АВ на ΓΔ (в «Началах» не объясняется понятие большего и меньшего, но интуитивно всегда используется верно: большее — то, что содержит часть, равную меньшему) и построить треугольник, равный АСВ, внутри ΓΕΔ.

Значит, площадь треугольника с большим основанием больше. Следовательно, если

то

Теперь, применив определение Евдокса, мы получаем, что

АВ/ΓΔ = ΔАСВ/ΔΓΕΔ,

Ч.Т.Д.

В предыдущем примере мы установили равенство соотношений между парами величин различных видов: прямых в первом случае и площадей — во втором. Отсюда вытекает необходимость уточнения, которое содержится в определении 5 книги 5. Благодаря этим определениям Евклид располагал весьма полезным инструментом для получения конкретных геометрических результатов в области прямых и плоских многосторонних фигур. Эти результаты составляют основное содержание книги VI, в которой Евклид излагает в том числе предложения, указанные в следующей таблице. Это геометрическое ядро теории отношений.

Применение теории отношений в геометрии Предложение Название Содержание 2 Теорема Фалеса Если в треугольнике параллельно одной из сторон проведена некоторая прямая, то она рассечет стороны треугольника пропорционально. 19 Теорема сторон Подобные треугольники находятся друг к другу в двойном отношении соответственных сторон. 5, 6 и 7 Теоремы площадей Критерий пропорциональности трех сторон; критерий пропорциональности двух сторон и критерий равенства одного угла. 11 и 13 Критерий подобия треугольников Треугольники могут быть построены, исходя из двух данных прямых. 12 Третья и средняя пропорциональная (теорема высот прямоугольных треугольников) Треугольник может быть построен, исходя из трех данных прямых. 8 (вывод) Четвертая пропорциональная Если в прямоугольном треугольнике из прямого угла к основанию проведен перпендикуляр, то треугольники при перпендикуляре подобны и целому, и между собой. МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ

У теории отношений открылся огромный — и неожиданный, что говорит о гениальности Евдокса,— математический потенциал для определения площадей и объемов. Для этого метод танграма должен был применяться до бесконечности, что невозможно из-за наложенного Аристотелем ограничения. Следовательно, необходимо прибегать к двойному методу доведения до абсурда — в XVII веке его назвали методом исчерпывания. Евклид использовал его для доказательства следующих предложений.

Книга XII, предложение 2. Круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров.

S1/S2 - d12/d22

Книга XII, предложение 7. Всякая призма, имеющая треугольное основание, разделяется на три равные друг другу пирамиды, имеющие треугольные основания.

P1/П1 = 1/3

Книга XII, предложение 18. Сферы находятся друг к другу в тройном отношении собственных диаметров.

Е1/Е1 = d13/d23

АРХИМЕД И КВАДРАТУРА ПАРАБОЛЫ

Рассмотрим, как Архимед использовал метод исчерпывания для решения задачи о квадратуре параболы. В некотором смысле оно похоже на решение задачи о квадратуре круга, предложенное Евклидом. Его основная цель — вписать в площадь параболы треугольники и сложить их площади, уже известные нам. Архимед писал:

Квадратура параболы. Площадь сегмента параболы относится к площади вписанного в нее треугольника как один к трем.

Рассмотрим треугольник АСВ, вписанный в сегмент параболы ADCEBA, где вершина С — точка, через которую проходит касательная к параболе, параллельная хорде АВ. В этом случае Архимед утверждал, что площадь S (ADCEBA) равна 4/3 площади треугольника Т = АСВ. То есть