Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма - Luis Alvarez

ГЛАВА 4

Аналитическая геометрия

Научная деятельность Ферма не ограничивалась теорией чисел. В XVII веке начинали развиваться аналитическая геометрия и математический анализ, и ученый стал одним из их основоположников. И теперь, в отличие от истории с теорией чисел, французский математик действовал как часть научного сообщества, что способствовало полному признанию его открытий еще при жизни.

И вновь для того чтобы понять вклад Ферма в науку, обратим свой взгляд назад, к самому рождению алгебры. После огромной эллинской славы в течение Средних веков западная математика пережила период угасания: в Европе сложно найти оригинальную работу по математике до Фибоначчи, который жил на рубеже XII и XIII веков. В мусульманском мире, наоборот, греческое наследие было изучено и развито дальше. Мусульмане, среди многих других греческих авторов, перевели Аристотеля, Евклида, Птолемея, Аполлония и Диофанта. Кроме того, они также сделали две важнейшие вещи: развили алгебру и ввели в обиход арабские цифры, распространив их вместе с использованием десятичных дробей.

Невозможно представить себе развитие западной математики без языка арабских чисел. Греки не умели выражать иррациональные числа, а неспособность выразить что-то является препятствием для развития научной мысли. Только представляя себе некий объект, человек способен рассуждать о нем. По этой причине введение арабских чисел стало одной из великих научных революций. Мы получили, в первую очередь, понятие "ноль". Наконец-то стало ясно, что "ничто" можно выразить. Также появилась форма записи десятичных дробей, приближенная к записи иррациональных чисел. Кроме того, арабская система дала нам возможность осуществлять алгоритмически (то есть на основе правил) самые основные операции: сложение, вычитание, умножение, деление. Вместо того чтобы работать со счетами, которые необходимы при использовании римских цифр, впервые стало возможным осуществлять операции в уме в соответствии с простыми правилами, которые может выучить любой школьник.

Другим большим новшеством исламской культуры была систематизация алгебры. Выдающийся исламский математик Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (780-850) написал трактат по алгебре, в котором классифицировал различные типы уравнений и высказал мысль, что две части уравнения подобны чашам уравновешенных весов: то, что вычитается или прибавляется в одной части, должно быть вычтено или прибавлено в другой.

Благодаря проникновению арабской культуры в Европу стало возможным появление и развитие одной из школ математики XVI и XVII веков — ренетов, которые просто занимались вычислениями, основываясь на арабской традиции и собственных первых открытиях. Они были прежде всего прагматиками, не желавшими тратить время на строгость греческого доказательства. В этой смеси традиций и развивалась деятельность Ферма. С одной стороны, реистский прагматичный подход к решению задач, с другой — геометры и их страсть к систематизированным и выверенным результатам. Но самое большое влияние на героя этой книги оказал математик Франсуа Виет; его работы являются связующим звеном, объединяющим разные направления научной деятельности Ферма. В первую очередь речь идет о созданной Виетом символической алгебре и его методах работы с уравнениями.

Уже Диофант в эллинскую эпоху иногда пользовался символами для обозначения числовых величин, но именно Виет создал новый язык, который, как и индо-арабская запись, позволял выражать до тех пор невыразимые вещи. Виет был первым, кто систематично использовал буквы, чтобы обозначать константы и неизвестные.

Символическая алгебра позволяет представить неизвестное нам число: оно уже не "вещь", а х. Действительно, как в случае с Великой теоремой можно выразить числа, "которых, возможно, даже не существует", — х, у и z из уравнения Ферма. Символическая алгебра позволяет рассуждать о целых классах задач и делать утверждения о бесконечном количестве похожих проблем, зная только их алгебраическую структуру, связь между переменными посредством уравнения. То есть можно говорить об уравнениях в общем виде. Например, можно быстро и просто сказать, что a2 - b2 = (a + b) (a - b) и что это выполняется при любых a и b. Символическая алгебра освобождает наш ум от тяжелых словесных описаний и позволяет рассуждать на другом уровне, точно так же, как арабские цифры помогают нам считать. Революция в данной области стала возможной благодаря Виету, а затем и Декарту.

Теперь необходимо остановиться на некоторых понятиях. Древнегреческие математики стремились к строгим безукоризненным доказательствам: они назывались "синтетическими" и шли от гипотезы теоремы до ее заключения, с использованием логических правил, шаг за шагом. Но редко ученый следует по такому прямому пути, когда делает свои открытия. Математик пользуется (и греки не были исключением) эвристическими, неформальными методами для проверки своей правоты, прежде чем попытаться составить доказательство. В Древней Греции пробные пути, по которым пытались исследовать доказательство, можно сравнить со строительными лесами, убранными из окончательной редакции доказательства. Они назывались анализом (следует заметить, что это слово имеет абсолютно другое значение в современной математике), в то время как доказательство было синтезом. Анализ ведется от заключения к гипотезе, в то время как обычное, строгое и синтетическое доказательство всегда следует в противоположном направлении. К разочарованию своих читателей XVI и XVII веков, греки не оставили следов используемого ими аналитического метода, полностью стирая их и демонстрируя только строгость и красоту синтетического доказательства. Папп, несколько веков спустя писавший о вершинах эллинской математики, был одним из немногих авторов, который оставил какие-то свидетельства анализа.

На первый взгляд использование такого приема кажется странным. Обратные теоремы необязательно верны (см., например, малую теорему Ферма). Следовательно, перевод анализа (движения в обратном направлении) в синтетическое доказательство (скажем так, в правильном направлении, от гипотезы к заключению) не является автоматическим. Но греки прибегали к искусным методам, позволяющим инвертировать анализ и превращать его в доказательство по правилам. В частности, они заметили, что в геометрии во многих случаях шаги действительно можно инвертировать. В других случаях они с той же целью использовали вспомогательные гипотезы.

Анализ в том виде, в каком им занимались греки, также прижился у арабских алгебраистов и ренетов. В алгебре уравнения в основном инвертируются. Если согласно неким правилам преобразовать уравнение, то всегда можно осуществить и обратную процедуру. Например, мы можем перейти от записи a2 - b2 к записи (a + b)(a - b), равно как и совершить обратный переход. Так происходит потому, что два равных между собой выражения свободно взаимозаменяемы. Виет осознал это и открыл, что если основывать анализ на алгебре, пользуясь только действиями с уравнениями и тождествами, то доказательства автоматически будут истинными. Вышесказанное привело его к революционному утверждению о том, что анализ и алгебра — это одно и то же; он назвал это аналитическим искусствам.

Теперь имелись общие методы работы с уравнениями, и задачи можно было решать в два этапа: постановка, то есть перевод задачи в область символической алгебры в виде уравнения, и алгебраические действия для нахождения решения. Этим занимаются на уроках математики в школе. Таким образом, вместо того чтобы делать акцент на решении частного уравнения, как поступали реисты, Виет сосредоточился на правилах действий, совершаемых над уравнением: сложении членов в обеих частях, вычитании членов, возведении в степень, извлечении корней, умножении или делении. Кроме того, он искал общие виды операций, которые зависели бы только от структуры уравнения. Значительная часть трактата Виета посвящена классификации тождеств, помогающих осуществлять такие действия.

Если мы видим выражение 3 + 2, то наша естественная реакция состоит в том, чтобы, как делали реисты, осуществить сложение и поставить 5. Но при этом мы теряем структуру исходного выражения, сам факт того, что это сложение. Следовательно, мы не можем рассуждать в общем виде о сложении. Символическая алгебра позволяет нам рассуждать о структурах. Можно сказать, что символическая алгебра сосредотачивается на синтаксисе уравнения, забывая о его содержании и значении до получения конечного решения. В то же время алгебра Виета предполагала, что объекты, с которыми мы работаем (константы и неизвестные), необязательно должны быть числами. Они могут быть чем угодно — углами в тригонометрии, геометрическими элементами, — всем, к чему применимы сложение, умножение, возведение в степень и так далее. Алгебра, которая ранее была только ответвлением арифметики, где акцент делался на решении числовых задач, теперь превращается в универсальный язык математики.