Интернет-журнал 'Домашняя лаборатория', 2007 №1 - Цыбанова

Кроме того, можно усмотреть следующее. Уравнение (1') (или (1")) — это неоднородное сравнение первой степени (т. е. линейное сравнение). Согласно общей теории, общее решение неоднородного сравнения есть сумма частного решения неоднородного сравнения и общего решения однородного сравнения ах = ()(mod b). Таким образом, задача разбилась на две.

Займемся сначала неоднородным сравнением (1") — Рассматривая эквивалентное уравнение (1'), замечаем (стандартное рассуждение — см. [1]), что если числа а и b делятся на число k, то на это же число должно делиться и с. Поскольку это верно для любого общего делителя а и Ь, то это верно и для их наибольшего общего делителя (а, Ь) =< 1. Таким образом, делимость с на <1 — необходимое условие разрешимости сравнения (1").

В нашем случае а = 27, b = 8, (а, Ь) = 1, т. е. числа а и b взаимно просты, поэтому сравнение (1") разрешимо при любом с.

Из приведенного рассуждения следует и способ решения сравнения (1") — Если мы умеем решить уравнение ах0 — by0 =< d, то умножив его на целое число c/d (поскольку необходимо с делится на d), мы получим решение уравнения (1').

В нашем случае d = 1, и кратчайший способ решения уравнения ах0 — by0 = 1 дается в [2]. Именно, надо разложить число a/b в цепную дробь, и если а = рn, b = qn то положить х = (-1)n-1qn-1, y = (-1)n-1pn-1.Это следует просто из того, что qn_1pn — qnpn-1 = (-1)n-1.

В нашем случае

Поэтому

И в самом деле: 27∙3–8∙10 = 81–80 = 1, поэтому берем x0 = 3, у0 = 10. Значит частным решением уравнения аx1 — by1 = с будет х1 =3∙2, y1 = 10∙2.

Что касается однородного уравнения ах — by = 0, то очевидным семейством решений его будет х = b∙k, у = a∙k, k — произвольное целое число. То, что это общее решение однородного уравнения следует из того, что данное уравнение эквивалентно сравнению ах = ()(mod b) и в силу взаимной простоты а и b это сравнение можно поделить на а (см. [3]), после чего сравнение превращается в х = ()(mod b), т. е. х должно делиться на Ь.

В итоге, получаем решение

уравнения (1). Поэтому в исходных переменных получаем:

Если здесь положить k = —1, то получаем дираковское решение: n0 = n3 = —2. Однако видно, что оно вовсе не наименьшее, и существует множество других, еще меньше. Впрочем, в каком-то смысле дираковский ответ действительно наименьший из возможных: именно, если искать наименьшее по абсолютной величине возможное количество рыб, то таким в самом деле окажется (-2).

Список литературы

[1] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 285.

[2] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 303.

[3] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 275–276.

Рассмотрим вопрос о количестве решений уравнения

ax = logax (1)

на полуоси х > 0 при 0 < a < 1. Именно, нас интересует вопрос о том, при каких a количество решений равно трем.

Если ψ(х) = ах, то loga х = ψ-1(х), и наше уравнение (1) принимает вид ψ(х) = v-1(х), что равносильно ψ(ψ(х)) = x или

(2)

Для удобства дальнейшего введем новую переменную t = х∙In а и функцию

Тогда

(3)

и уравнение (2) превращается в

(4)

Найдем количество решений данного уравнения. Для этого прежде всего исследуем функцию F(t).

Поскольку исходная функция ψ(х) определена на интервале х > 0 и 0 < а < 1, то In а < 0 и t = х In а < 0, т. е. функция F(t) определена на интервале t € (—оо,0).

Асимптотики в предельных точках: limt->-ooF(t) = 0–0, limt->0–0F(t) = —oo. Т. е. функция F имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Далее,

Рис. 1: График функции F(t)

Для нахождения экстремумов функции F рассмотрим функцию φ(t) = tet и найдем корни уравнения φ(t) = 1/ln a. Видно, что на интервале t € (—оо,0) имеют место соотношения: limt->oo φ(t) = 0–0, φ(0) = 0. Далее, φ'(t) = et(t + 1), φ"(t) = et(t + 2) и вообще φ(n)(t) = et(t + n). Поэтому minimum функции φ находится в точке tmin — 1 и равен φmin = — e-1

Рис. 2: График функции φ(t) и определение положения точек t1, и t2.

Значит:

1) При 1/ln a <= — e-1 <=> a >= e-e экстремумов у функции F нет.

2) При а < е-e функция F имеет один minimum в точке t1, равный Fmin = aet1/t1 и один maximum в точке t2 > t1, равный Fmax = aet2/t2; при этом t1 < = tmin= -1 и t2 > tmin = -1.

Таким образом уравнение (4) имеет три решения только в случае 2) и лишь в том случае если

Fmin > 1/ln a < Fmax. (5)

При этом в случае 2) условие (5) является не только необходимым, но и достаточным для наличия у уравнения (4) трех решений. Точки t1 и t2 определяются условиями φ(t1) = t1et1 = φ(t2) = t2et2 = 1/ln a. Т. е. необходимое и достаточное условие наличия трех решений принимает вид

Левые части уравнений в условиях (6) не зависят от а, и потому эти уравнения имеют вид f(t) = g(a), в то время как неравенства (6) данным свойством не обладают