Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко

Рис. 2.8. Типичные нестационарные процессы: катастрофа, релаксация и самоорганизация, — имеющие одинаковое характерное время

Иногда, гуляя в снегопад, я удивляюсь тому, что снежинка падает мне на нос. Удивляюсь оттого, что вероятность этого события ничтожно мала. Если рассудить, снежинка родилась высоко в небе над Тихим океаном, кружилась в беспорядочных турбулентных потоках в облаке, падала, непрерывно меняя направление движения… чтобы попасть на кончик моего носа на Камчатке! А какой ошеломительный путь прошли фотоны от далекой звезды?! Десятки тысяч лет они неслись сквозь Вселенную, их не поглотила пыль, им не встретился астероид! Родились они в бушующем квантовом мире далекой звезды, а закончили свой путь в квантовом мире белка опсина на сетчатке в моем глазу. Даже считать вероятность этого события нет смысла, она исчезающе мала. Но событие случается, и я вижу мерцающий свет звезды. Теперь понятно: это все потому, что площадь моего носа и даже молекулы опсина имеют ненулевую меру. Но все равно удивительно: то, что почти наверняка не должно было произойти, все же происходит!

О роли предопределенности или случайности в нашей судьбе, об истинности или призрачности нашего знания о природе пусть спорят философы. Я же призываю читателя взглянуть на мир с высоты математических абстракций и восхититься его красотой и согласованностью.

Глава 3. Головокружительный полет бутерброда с маслом

Тема падающих бутербродов не дает покоя ни широкой публике, ни исследователям. Десятки лет проводятся эксперименты, снимается кино, пишутся статьи, падающий бутерброд обрастает легендами и неправильными выводами. Мало какая столь же бесполезная задача привлекала к себе такое внимание. И если вы думаете, что это баловство, то имейте в виду, что за ее решение даже премии дают — правда, тоже несерьезные. В 1996 году Роберт Мэтьюз получил Шнобелевскую премию за работу «Падающий бутерброд, закон Мёрфи и фундаментальные константы»[10], опубликованную в European Journal of Physics. Несмотря на шуточную тему и соответствующую реакцию научного сообщества, это небезынтересная статья, в которой проводится тщательный анализ процесса соскальзывания и делается далеко идущий вывод: на какой бы планете ни возникли антропоморфные существа, живущие в атмосфере, они будут обречены на закон бутерброда. После такого триумфа бесполезных исследований можно бы тему и закрыть, но зачем упускать возможность рассмотреть на примере занятной задачки интересные и объективно полезные методы!

Айда кидать бутерброды в Монте-Карло!

Мы редко подбрасываем бутерброды, как монетку, — по крайней мере, когда становимся старше двух лет. Чаще всего мы невольно повторяем примерно один и тот же эксперимент: бутерброд, изначально расположенный маслом вверх, выскальзывает из рук или съезжает со стола. В процессе соскальзывания он закручивается, летит в воздухе и наконец шлепается на стол или на пол. На начальный этап падения влияет ряд параметров: трение о пальцы или поверхность стола, начальное положение бутерброда и его начальная скорость, высота падения — наконец, размеры бутерброда. Налицо динамическая система с несколькими входными параметрами и одним выходным — положением бутерброда на полу. Внутри системы, как и в случае с монеткой, работают механические законы, которые описываются дифференциальными уравнениями, и они детерминистические. Это значит, что в них нет никаких случайностей. Результат зависит только от входных данных, и при точном повторении параметров мы должны получать идентичные результаты. Это относится к модели бутерброда, представленной в виде системы дифференциальных уравнений. А что насчет настоящих бутербродов, шероховатых и неповторимых, роняемых настоящими людьми в ресторанах, на улице или на диване? Изменчивость реального мира можно описать, подавая на вход детерминистической системы случайные параметры.

Однако даже алгебра случайных величин, включающая в себя лишь сложение и умножение, — дело непростое, а у нас дифференциальные уравнения! Мы не полезем в эти увлекательные дебри, а используем отработанную во многих областях технику — метод Монте-Карло. Он состоит в определении свойств некой сложной системы в результате многократных испытаний с различными случайными параметрами. Подчеркну еще раз: исследуемая система не стохастична и не хаотична, и на случайные входные данные она реагирует предсказуемо. В методе Монте-Карло случайность нужна лишь для того, чтобы эффективно перебрать как можно больше вариантов и заглянуть во все реалистичные «углы», получив представление о поведении системы. Это универсальный метод, применяемый в самых разнообразных задачах. Обычно студенты впервые знакомятся с методом Монте-Карло, изучая численное интегрирование, например вычисляя площадь какой-либо сложной фигуры, задаваемой системой неравенств, которая не имеет приличного аналитического представления. То обстоятельство, что вероятность — мера, позволяет использовать метод Монте-Карло для вычисления мер (площадей и объемов) геометрических фигур.

Особенность предстоящего эксперимента с бутербродом состоит в том, что нас интересует зависимость вероятности того или иного его исхода от параметров задачи. Мы будем искать ответ на вопрос: при каких обстоятельствах выполняется закон бутерброда? Станем подавать на вход нашей динамической системы различные конкретные параметры и набирать статистику по падениям маслом вверх и маслом вниз. И результатом ряда экспериментов будет число — вероятность падения маслом вниз.

Я убежден, что намеренно ронять на пол настоящие бутерброды из хлеба и масла неправильно, поэтому воспользуемся математическим моделированием. Для решения задачи я взял один из доступных симуляторов физического мира, которые используют для создания онлайн-игр. Он легко позволил создать виртуальные стол и пол, а также два бутерброда. Один оказывался на краю стола, а второй «выскальзывал из пальцев», то есть соскальзывал с точечной опоры (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Математические эксперименты с бутербродами

В моих силах задать все параметры задачи: начальные позицию и угол бутерброда, горизонтальную скорость для случая смахивания со стола, коэффициенты трения, размеры бутерброда и высоту падения. В момент, когда бутерброд касается пола, фиксируется угол бутерброда, вернее угол вектора, нормального к нему. О том, с какой стороны оказалось масло, нам скажет знак синуса этого угла: положительному значению соответствует удачный случай, а отрицательному — положение маслом вниз. Результат заносится в таблицу, и новый виртуальный бутерброд готов к падению. Задачу мы поставим такую: оценить вероятность приземления бутерброда маслом вниз при его падении с